Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh \({A_1}\), \({A_2}\), \({B_1}\), \({B_2}\) như hình vẽ bên. Người ta chia elip bởi parabol có đỉnh \({B_1}\), trục đối xứng \({B_1}{B_2}\) và đi qua các điểm M, N. Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200 000 đồng/\({m^2}\) và trang trí phần đèn led còn lại với giá 500 000 đồng/\({m^2}\). Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây, biết rằng \({A_1}{A_2} = 4\) m, \({B_1}{B_2} = 2\) m, MN = 2 m.
-
A.
2 341 000 đồng
-
B.
2 057 000 đồng
-
C.
2 760 000 đồng
-
D.
1 664 000 đồng
Gắn trục tọa độ Oxy vào vị trí phù hợp. Xác định phương trình elip và parabol.
Ứng dụng tích phân để tính diện tích, từ đó tính kinh phí.
Gắn trục tọa độ như hình.
Độ dài trục lớn của elip là \({A_1}{A_2} = 4 = 2a \Rightarrow a = 2\).
Độ dài trục nhỏ của elip là \({B_1}{B_2} = 2 = 2b \Rightarrow b = 1\).
Phương trình elip là \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 4{y^2} = 4 \Leftrightarrow y = \pm \frac{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{2}\).
Ta chỉ xét nửa đường elip nằm phía trên trục hoành \(y = \frac{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{2}\).
Vì MN = 2 nên \({x_N} = 1\), \({x_M} = - 1\).
Thay hoành độ các điểm M, N vào phương trình nửa elip:
- Với \({x_N} = 1\) thì \(y = \frac{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {4 - {1^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Suy ra \(N\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).
- Với \({x_M} = - 1\) thì \(y = \frac{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {4 - {{( - 1)}^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Suy ra \(M\left( { - 1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).
Gọi phương trình parabol là \(y = a{x^2} + bx + c\) (a > 0).
Vì parabol đi qua các điểm \(M\left( { - 1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\), \(N\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\), \({B_1}\left( {0; - 1} \right)\) nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a{.1^2} + b.1 + c\\\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a.{( - 1)^2} + b.( - 1) + c\\ - 1 = a{.0^2} + b.0 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 1\\b = 0\\c = - 1\end{array} \right. \Rightarrow y = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + 1} \right){x^2} - 1\).
Diện tích elip là: \({S_E} = \pi ab = \pi .2.1 = 2\pi \).
Diện tích phần tô đậm là: \({S_1} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {\frac{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{2} - \left( {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + 1} \right){x^2} - 1} \right)} \right]dx} \).
Diện tích phần trang trí led là: \({S_2} = {S_E} - {S_1}\).
Vậy kinh phí là:
\(200000.{S_1} + 500000.{S_2} \approx 2340830\) đồng \( \approx 2341000\) đồng.
Đáp án : A
Các lý thuyết được ứng dụng vào bài toán:
1. Hệ Trục Tọa Độ Oxy:
Việc đặt các hình hình học vào một hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxy cho phép biểu diễn các điểm, đường cong và hình phẳng bằng các phương trình toán học. Điều này biến bài toán hình học thành bài toán đại số và giải tích.
2. Elip:
Elip là tập hợp các điểm có tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm cố định là không đổi. Phương trình chính tắc của elip có tâm tại gốc tọa độ, trục lớn nằm trên trục Ox và trục nhỏ nằm trên trục Oy là $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, trong đó 2a là độ dài trục lớn và 2b là độ dài trục nhỏ.
Diện tích toàn bộ hình elip có thể được tính bằng công thức $S_E = \pi ab$.
3. Parabol:
Parabol là tập hợp các điểm cách đều một điểm cố định (tiêu điểm) và một đường thẳng cố định (đường chuẩn). Phương trình tổng quát của parabol có trục đối xứng song song với trục Oy là $y = a{x^2} + bx + c$. Đỉnh của parabol có tọa độ $\left(-\frac{b}{2a}; c - \frac{b^2}{4a}\right)$.
4. Tích Phân để Tính Diện Tích:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) trên đoạn [a;b] được tính bằng tích phân xác định $\int_a^b |f(x) - g(x)| dx$. Nếu $f(x) \ge g(x)$ trên [a;b], công thức đơn giản là $\int_a^b (f(x) - g(x)) dx$.
Danh sách bình luận