Đề bài

Cho hai biểu thức \(P = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x }}{{x - 4}}\) và \(Q = \frac{1}{{\sqrt x  + 2}}\) (với \(x \ge 0\), \(x \ne 4\)).

1) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 9.

2) Rút gọn biểu thức P.

3) Biết \(M = \frac{P}{Q}\). Tìm các giá trị của x để M = 18.

Phương pháp giải

1) Kiểm tra điều kiện của x. Nếu thỏa mãn, thay x = 9 vào Q.

2) Kết hợp các tính chất của căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức.

3) Rút gọn \(M = \frac{P}{Q}\) rồi giải phương trình M = 18.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

1) Thay x = 9 (thỏa mãn điều kiện) vào Q, ta được:

\(Q = \frac{1}{{\sqrt 9  + 2}} = \frac{1}{{3 + 2}} = \frac{1}{5}\).

Vậy khi x = 9 thì \(Q = \frac{1}{5}\).

2) \(P = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x }}{{x - 4}}\) (với \(x \ge 0\), \(x \ne 4\))

\( = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{8\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} + \frac{{8\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{3x - 6\sqrt x  - x - 2\sqrt x  + 8\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{2x}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\).

3) \(M = \frac{P}{Q} = \frac{{2x}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}:\frac{1}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{{2x}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}.\left( {\sqrt x  + 2} \right) = \frac{{2x}}{{\sqrt x  - 2}}\).

Để M = 18 thì \(\frac{{2x}}{{\sqrt x  - 2}} = 18\)

\(2x = 18\left( {\sqrt x  - 2} \right)\)

\(2x - 18\sqrt x  + 36 = 0\)

\(x - 9\sqrt x  + 18 = 0\).

Giải phương trình trên, ta được \(\sqrt x  = 3\) hoặc \(\sqrt x  = 6\).

Suy ra x = 9 hoặc x = 36 (cả hai nghiệm đều thỏa mãn).

Vậy để M = 18 thì \(x \in \{ 9;36\} \).