Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng \({45^o}\). Gọi M là trung điểm của SD. Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (SAC).

• A. \(d = \frac{{a\sqrt {1315} }}{{89}}\)
• B. \(d = \frac{{a\sqrt {1513} }}{{89}}\)
• C. \(d = \frac{{2a\sqrt {1315} }}{{89}}\)
• D. \(d = \frac{{2a\sqrt {1513} }}{{89}}\)

Phương pháp giải

Đưa về tính khoảng cách từ H đến (SAC).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi H là trung điểm của AB.

\(\Delta SAB\) cân tại S nên SH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao. Do đó \(SH \bot AB\).

Mà AB là giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc (SAB) và (ABCD), trong đó SH thuộc (SAB), suy ra \(SH \bot (ABCD)\).

Do đó, CH là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD).

Suy ra góc giữa SC và đáy là \(\widehat {SCH} = {45^o}\).

Vì SD = 2SM nên \(d\left( {M,(SAC)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {D,(SAC)} \right)\).

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên OB = OD, suy ra \(d\left( {D,(SAC)} \right) = d\left( {B,(SAC)} \right)\).

Mà AB = 2AH nên \(d\left( {H,(SAC)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {B,(SAC)} \right)\).

Như vậy \(d\left( {M,(SAC)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {D,(SAC)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {B,(SAC)} \right) = d\left( {H,(SAC)} \right)\).

Lấy I thuộc AC sao cho \(IH \bot AC\).

Trong mặt phẳng (SHI), lấy K thuộc SI sao cho \(HK \bot SI\).

Có \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot AC\\HI \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot (SHI) \Rightarrow AC \bot HK\).

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot HK\\SI \bot HK\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot (SAC)\).

Vậy \(d\left( {M,(SAC)} \right) = d\left( {H,(SAC)} \right) = HK\).

Xét \(\Delta BHC\) vuông tại B: \(HC = \sqrt {B{H^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2} + B{C^2}} \)

\( = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\).

Vì \(\Delta SHC\) vuông tại H có \(\widehat {SCH} = {45^o}\) nên \(\Delta SHC\) vuông cân tại S.

Do đó \(SH = CH = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại B: \(\sin \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AC}}\).

Xét \(\Delta AHI\) vuông tại I: \(\sin \widehat {BAC} = \frac{{IH}}{{AH}}\).

Suy ra \(\frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{IH}}{{AH}}( = \sin \widehat {BAC}) \Leftrightarrow IH = \frac{{AH.BC}}{{AC}} = \frac{{\frac{a}{2}.2a}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\).

Xét \(\Delta SHI\) vuông tại H, đường cao HK:

\(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{I{H^2}}}\)

\( \Leftrightarrow HK = \frac{{SH.IH}}{{\sqrt {S{H^2} + I{H^2}} }}\)

\( = \frac{{\frac{{a\sqrt {17} }}{2}.\frac{{a\sqrt 5 }}{5}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt {17} }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2}} }} = \frac{{\frac{{\sqrt {85} }}{{10}}{a^2}}}{{\frac{{\sqrt {445} }}{{10}}a}} = \frac{{a\sqrt {1513} }}{{89}}\).

Đáp án : B