Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = BC = 2 và CC’ = 4. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AA’. Khoảng cách giữa hai đường thắng B’D’ và MN bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình.

Ta có tọa độ các điểm: M(1;2;0), N(0;0;2), B’(0;2;4), D’(2;0;4).

Suy ra \(\overrightarrow {MN}  = ( - 1; - 2;2)\), \(\overrightarrow {B'D'}  = (2; - 2;0)\), \(\overrightarrow {MB'}  = ( - 1;0;4)\).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (4;4;6)\).

Suy ra \(d(MN,B'D') = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {B'D'} } \right].\overrightarrow {MB'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {B'D'} } \right]} \right|}} \)

\(= \frac{{\left| {( - 1).4 + 0.4 + 4.6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {6^2}} }} = \frac{{10\sqrt {17} }}{{17}} \approx 2,43\).