Đề bài

Cho phương trình bậc hai \({x^2} + 6x - 3 = 0\)

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức: \(A = \frac{{5{x_1} - {x_2}}}{{{x_1}}} - \frac{{{x_1} - 3{x_2}}}{{{x_2}}}\).

 

Phương pháp giải

a) Sử dụng \(ac < 0\) để chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Áp dụng định lí Viète và biến đổi A để xuất hiện tổng và tích của hai nghiệm.

Định lí Viète: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\).

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Phương trình\({x^2} + 6x - 3 = 0\) có \(a.c = 1.\left( { - 3} \right) =  - 3 < 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) \(A = \frac{{5{x_1} - {x_2}}}{{{x_1}}} - \frac{{{x_1} - 3{x_2}}}{{{x_2}}}\)

Áp dụng Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - 6}}{1} =  - 6\); \({x_1}.{x_2} = \frac{{ - 3}}{1} =  - 3\).

Ta có: \(A = \frac{{5{x_1} - {x_2}}}{{{x_1}}} - \frac{{{x_1} - 3{x_2}}}{{{x_2}}}\)

\(\begin{array}{l}A = \frac{{{x_2}\left( {5{x_1} - {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}} - \frac{{{x_1}\left( {{x_1} - 3{x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}\\A = \frac{{5{x_1}{x_2} - x_2^2 - x_1^2 + 3{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\\A = \frac{{ - \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 8{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\\A = \frac{{ - {{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} + 10{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\\A = \frac{{ - {{\left( { - 6} \right)}^2} + 10.\left( { - 3} \right)}}{{ - 3}} = 22\end{array}\)

Vậy \(A = 22\).