Đề bài

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số \(y = f({x^2} - 2)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

• A. \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\)
• B. \(\left( {0;2} \right)\)
• C. \(\left( {2; + \infty } \right)\)
• D. \(\left( { - 2;0} \right)\)

Phương pháp giải

Xét dấu \(y = f'({x^2} - 2)\) dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f(x).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Quan sát bảng biến thiên của hàm số y = f(x), thấy \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 2\end{array} \right.\)

Xét hàm số \(y = f({x^2} - 2)\):

\(y' = f'({x^2} - 2) = ({x^2} - 2)'.f({x^2} - 2) = 2x.f({x^2} - 2)\).

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 2 = 0\\{x^2} - 2 =  \pm 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt 2 \\x =  \pm 2\end{array} \right.\)

Từ bảng biến thiên của hàm số y = f(x), thấy \(f'(x) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2 < x < 0\\x > 2\end{array} \right.\)

Do đó \(f'({x^2} - 2) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2 < {x^2} - 2 < 0\\{x^2} - 2 > 2\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < {x^2} < 2\\{x^2} > 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < x < \sqrt 2 \\ - \sqrt 2  < x < 0\\x > 2\\x <  - 2\end{array} \right.\)

Ta có bảng xét dấu của hàm số \(f({x^2} - 2)\):

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy hàm số \(f({x^2} - 2)\) nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 2; - \sqrt 2 } \right)\), \(\left( {0;\sqrt 2 } \right)\), \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Đáp án : C