Đề bài

Tính khoảng cách từ điểm A(1;2;1) đến đường thẳng d: \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\).

• A. \(\frac{{5\sqrt 5 }}{3}\)
• B. \(\frac{{5\sqrt {70} }}{{14}}\)
• C. \(\frac{{10\sqrt 5 }}{3}\)
• D. \(\frac{{5\sqrt {70} }}{7}\)

Phương pháp giải

Gọi H là hình chiếu của A trên d. Tính AH.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đặt \(t = \frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\) \(\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Từ đó, ta suy ra d có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y = 1 + 2t\\z =  - 1 - 2t\end{array} \right.\).

Gọi H là hình chiếu của A trên d. Khi đó \(H( - 2 + t;1 + 2t; - 1 - 2t)\).

Suy ra \(\overrightarrow {AH}  = ( - 2 + t - 1;1 + 2t - 2; - 1 - 2t - 1) = ( - 3 + t; - 1 + 2t; - 2 - 2t)\).

Khoảng cách từ A đến d là độ dài AH.

Gọi \(\overrightarrow {{u_d}} \) là VTCP của d, do đó \(\overrightarrow {{u_d}}  = (1;2; - 2)\).

Có \(\overrightarrow {{u_d}}  \bot \overrightarrow {AH}  \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {AH}  = 0\)

\( \Leftrightarrow ( - 3 + t).1 + ( - 1 + 2t).2 + ( - 2 - 2t).( - 2) = 0\)

\( \Leftrightarrow 9t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{9}\).

Suy ra \(\overrightarrow {AH}  = \left( { - 3 + \frac{1}{9}; - 1 + 2.\frac{1}{9}; - 2 - 2.\frac{1}{9}} \right) = \left( { - \frac{{26}}{9}; - \frac{7}{9}; - \frac{{20}}{9}} \right)\).

Vậy \(d\left( {A,d} \right) = AH = \sqrt {{{\left( { - \frac{{26}}{9}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{7}{9}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{20}}{9}} \right)}^2}}  = \frac{{5\sqrt 5 }}{3}\).

Đáp án : A