Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB = a, \(\widehat {ABC} = {30^o}\), cạnh C’A hợp với mặt đáy góc \({60^o}\). Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là

• A. \(\frac{{{a^3}}}{6}\)
• B. \(\frac{{{a^3}}}{2}\)
• C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
• D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

Phương pháp giải

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, tính AC, CC’.

Từ đó, áp dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ: V = Bh.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A:

\(\tan \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} \Leftrightarrow AC = AB.\tan \widehat {ABC} = a.\tan {30^o} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Cạnh C’A hợp với mặt đáy góc \({60^o}\) nên ta có \(\widehat {C'AC} = {60^o}\).

Xét \(\Delta C'AC\) vuông tại C:

\(\tan \widehat {C'AC} = \frac{{CC'}}{{AC}} \Leftrightarrow CC' = AC.\tan \widehat {C'AC} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\tan {60^o} = a\).

Thể tích lăng trụ là:

\(V = {S_{ABC}}.CC' = \frac{1}{2}.AB.AC.CC' = \frac{1}{2}.a.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

Đáp án : C