Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, AA’ = \(\sqrt 2 a\). Góc giữa hai đường thẳng AB’ và BC’ bằng

• A. \({60^o}\)
• B. \({45^o}\)
• C. \({90^o}\)
• D. \({30^o}\)

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CC'} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'} \)

\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BB'} \) (vì \(\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {BB'} \))

\( =  - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BB'} \)

Ta có:

\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = BA.BC.\cos \widehat {ABC} = a.a.\cos {60^o} = \frac{{{a^2}}}{2}\);

\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BB'}  = BA.BB'.\cos \widehat {ABB'} = a.a\sqrt 2 .\cos {90^o} = 0\);

\(\overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC}  = BB'.BC.\cos \widehat {B'BC} = a\sqrt 2 .a.\cos {90^o} = 0\);

\(\overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BB'}  = BB'.BB'.\cos {0^o} = a\sqrt 2 .a\sqrt 2 .\cos 0 = 2{a^2}\).

Vậy \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'}  =  - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BB'} \)

\( =  - \frac{{{a^2}}}{2} - 0 + 0 + 2{a^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}\).

Ta có \(AB' = BC' = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}}  = a\sqrt 3 \).

Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} }}{{\left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC'} } \right|}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 3 .a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = {60^o}\).

Đáp án : A