Đề bài

Người ta thiết kế một mẫu gạch lát nền nhà có dạng hình vuông cạnh 4 dm. Bốn góc viên gạch màu trắng, phần ở giữa màu xanh (như hình vẽ). Đường viền của phần màu xanh bao gồm bốn đoạn thẳng nằm trên các cạnh hình vuông và bốn đường cong có tính chất: Tích khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường cong đó đến hai trục đối xứng của viên gạch (hai đường thẳng đi qua tâm viên gạch và lần lượt song song với hai cạnh vuông góc) bằng 2 \(d{m^2}\). Hãy cho biết phần màu xanh có diện tích bằng bao nhiêu decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp.

Lập phương trình các đường cong.

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gắn trục toạ độ Oxy vào viên gạch sao cho hai trục trùng với hai đường đối xứng, gốc O ở tâm hình vuông như hình dưới.

Giả sử toạ độ một điểm trên đường viền cong là (x;y).

Theo giả thiết, ta có |xy| = 2. Suy ra \(y = \frac{2}{x}\) hoặc \(y =  - \frac{2}{x}\).

Ứng với hình vẽ trên, ta có các đường viền cong AK, DE là một phần của đồ thị hàm số \(y =  - \frac{2}{x}\); các đường viền cong BC, GH là một phần của đồ thị hàm số \(y = \frac{2}{x}\).

Khi đó, diện tích phần màu xanh bằng:

\(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| { - \frac{2}{x} - \frac{2}{x}} \right|dx}  + {S_{ABEG}} + \int\limits_1^2 {\left| {\frac{2}{x} - \frac{{ - 2}}{x}} \right|dx} \)

\( = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( { - \frac{2}{x} - \frac{2}{x}} \right)dx}  + 4.2 + \int\limits_1^2 {\left( {\frac{2}{x} + \frac{2}{x}} \right)dx} \)

\( =  - 4\ln \left| x \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{ - 1}}\\{_{ - 2}}\end{array}} \right. + 8 + 4\ln \left| x \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right. \approx 13,5\) \(\left( {d{m^2}} \right)\).

Mở rộng

Ứng dụng tích phân tính diện tích

Đây là một công cụ mạnh mẽ trong giải tích, cho phép tính toán nhiều đại lượng, bao gồm diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường cong.

Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai hàm y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] là \(\int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).