Trong một trò chơi bốc thăm trúng thưởng, luật chơi như sau: Trong một hộp có chứa 25 cái phiếu được đánh số từ 1 đến 25, người chơi được bốc thăm ngẫu nhiên 5 phiếu, nếu tổng bình phương các số trên phiếu bốc được là số chia hết cho 4 thì trúng thưởng. Bạn Hoa là người đầu tiên bốc thăm, xác suất để Hoa trúng thưởng là \(\frac{a}{b}\) (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính S = b – a.
Áp dụng phương pháp tổ hợp.
Số phần tử của không gian mẫu: \(C_{25}^5 = 53130\).
Ta gọi các số chẵn là 2k \((k \in {\mathbb{N}^*})\), số lẻ là 2k + 1 \((k \in \mathbb{N})\). Có:
+ \({\left( {2k} \right)^2} = 4{k^2}\) chia hết cho 4.
+ \({\left( {2k + 1} \right)^2} = 4{k^2} + 4k + 1\) chia 4 dư 1.
Giả sử 5 số trên 5 phiếu bạn Hoa bốc được là a, b, c, d, e.
Hoa trúng thưởng khi \(P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2}\) chia hết cho 4.
Vì các số chẵn bình phương đều chia hết cho 4 nên tổng của chúng cũng chia hết cho 4. Do đó, nếu Hoa bốc được 5 số chẵn thì P chia hết cho 4.
Nếu Hoa bốc được số lẻ, tổng dư của các bình phương phải chia hết cho 4 thì P mới chia hết cho 4. Tức là Hoa phải bốc được đúng 4 số lẻ (do bình phương mỗi số lẻ chia 4 dư 1, tổng sẽ dư 4 và chúng chia hết cho 4) và 1 số chẵn.
Như vậy, ta có 2 trường hợp Hoa trúng thưởng: 5 chẵn hoặc 1 chẵn, 4 lẻ.
Từ 1 đến 25 có 12 số chẵn và 13 số lẻ.
TH1: Hoa bốc được 5 số chẵn.
Số kết quả có thể xảy ra là \(C_{12}^5 = 792\).
TH2: Hoa bốc được 1 số chẵn, 4 số lẻ.
Số kết quả có thể xảy ra là \(C_{12}^1C_{13}^4 = 8580\).
Xác suất để Hoa trúng thưởng là \(\frac{{792 + 8580}}{{53130}} = \frac{{142}}{{805}}\).
Vậy S = b – a = 805 – 142 = 663.
Danh sách bình luận