Đề bài

Trên quãng đường \(AB\) dài \(210\) km , tại cùng một thời điểm một xe máy khởi hành từ \(A\) đến \(B\) và một ôt ô khởi hành từ \(B\) đi về \(A\). Sau khi gặp nhau, xe máy đi tiếp $4$ giờ nữa thì đến \(B\) và ô tô đi tiếp $2$ giờ $15$ phút nữa thì đến \(A\). Biết rằng vận tốc ô tô và xe máy không thay đổi trong suốt chặng đường. Vận tốc của xe máy và ô tô lần lượt là

• A. \(20\,km/h;\,30\,km/h\)
• B. \(30\,km/h;\,40\,km/h\)
• C. \(40\,km/h;\,30\,km/h\)
• D. \(45\,km/h;\,35\,km/h\)

Phương pháp giải

Bước 1: Lập hệ phương trình

1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)

2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 

3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình

Sử dụng các phương pháp thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ…

Bước 3: Kết luận

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi vận tốc xe máy là x (km/h). Điều kiện: x > 0

Gọi vận tốc ô tô là y (km/h). Điều kiện: y > 0

Thời gian xe máy dự định đi từ A đến B là: \(\frac{{210}}{x}\) giờ

Thời gian ô tô dự định đi từ B đến A là: \(\frac{{210}}{y}\) giờ

Vì sau khi gặp nhau thì xe máy đi tiếp 4 giờ nữa đến B nên quãng đường xe máy đi được kể từ khi gặp ô tô cho đến khi đến B là: 4x (km)

Vì sau khi gặp nhau thì ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút = \(\frac{9}{4}\) giờ nữa đến A nên quãng đường ô tô đi được kể từ khi gặp xe máy cho đến khi đến A là: \(\frac{9}{4}y\) (km)

Vì thời gian xe máy và ô tô đi đến lúc gặp nhau là bằng nhau, thời gian sau khi gặp nhau xe máy đi 4 giờ nữa thì đến B, ô tô đi \(\frac{9}{4}\) giờ nữa thì đến A nên thời gian xe máy đi nhiều hơn ô tô là: \(4 - \frac{9}{4} = \frac{7}{4}\) (giờ) nên ta có phương trình:

\(\frac{{210}}{x} - \frac{{210}}{y} = \frac{7}{4}\).

Vì từ thời điểm gặp nhau, xe máy và ô tô tiếp tục đi ngược chiều nên tổng quãng đường xe máy và ô tô đi kể từ khi gặp nhau chính là đoạn đường AB.

Do đó \(4x + \frac{9}{4}y = 210\)

Ta có hệ phương trình: 

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{210}}{x} - \dfrac{{210}}{y} = \dfrac{7}{4}\\4x + \dfrac{9}{4}y = 210\end{array} \right. \\\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{4x + \dfrac{9}{4}y}}{x} - \dfrac{{4x + \dfrac{9}{4}y}}{y} = \dfrac{7}{4}\,\,\left( 1 \right)\\4x + \dfrac{9}{4}y = 210\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left( 2 \right)\end{array} \right.$ 

Từ phương trình (1) ta suy ra $\dfrac{{4x + \dfrac{9}{4}y}}{x} - \dfrac{{4x + \dfrac{9}{4}y}}{y} = \dfrac{7}{4} $

\(\dfrac{{4x}}{x} + \dfrac{{9y}}{{4x}} - \dfrac{{4x}}{y} - \dfrac{{9y}}{{4y}} = \dfrac{7}{4} \)

\(4 + \dfrac{{9y}}{{4x}} - \dfrac{{4x}}{y} - \dfrac{9}{4} = \dfrac{7}{4}\)

$\dfrac{{9y}}{{4x}} - \dfrac{{4x}}{y} = 0 $

suy ra $x = \dfrac{3}{4}y$.

Thay vào phương trình (2) ta thu được:

$\dfrac{{12}}{4}y + \dfrac{9}{4}y = 210 $

$y = 40$ (TM)

suy ra $x = 30$ (TM).

Vậy vận tốc xe máy là \(30\) km/h. Vận tốc ô tô là 40 km/h.

Đáp án : B

Mở rộng

Đây là bài toán chuyển động liên quan đến hai vật di chuyển ngược chiều trên một quãng đường xác định. Các công thức cơ bản áp dụng là:

Quãng đường ($S$) = Vận tốc ($v$) $\times$ Thời gian ($t$)

Thời gian ($t$) = $\frac{S}{v}$

Vận tốc ($v$) = $\frac{S}{t}$

Bài toán yêu cầu tìm vận tốc xe máy và ô tô trên quãng đường AB dài 210 km.

- Thiết lập ẩn số: Gọi vận tốc xe máy là $x$ (km/h) và vận tốc ô tô là $y$ (km/h), với điều kiện $x > 0$ và $y > 0$.

- Xây dựng hệ phương trình:

+ Sau khi gặp nhau, xe máy đi tiếp 4 giờ thì đến B, nên quãng đường xe máy đi sau gặp là $4x$ (km).

+ Ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút ($= \frac{9}{4}$ giờ) thì đến A, nên quãng đường ô tô đi sau gặp là $\frac{9}{4}y$ (km).

* Phương trình 1 (Mối quan hệ thời gian): Thời gian xe máy dự định đi hết quãng đường AB là $\frac{210}{x}$, và thời gian ô tô dự định đi hết quãng đường BA là $\frac{210}{y}$. Vì sau khi gặp nhau, xe máy đi 4 giờ và ô tô đi $\frac{9}{4}$ giờ, sự chênh lệch thời gian di chuyển toàn bộ quãng đường của hai xe là $4 - \frac{9}{4} = \frac{7}{4}$ giờ. Vậy: $\frac{210}{x} - \frac{210}{y} = \frac{7}{4}$.

* Phương trình 1 (Tổng quãng đường): Tổng quãng đường hai xe đi sau khi gặp nhau chính là tổng quãng đường AB. Do đó: $4x + \frac{9}{4}y = 210$.

Hai phương trình này tạo thành hệ phương trình để giải.

Phương pháp giải chung cho dạng bài này

Phương pháp giải chung cho dạng bài toán chuyển động này bao gồm ba bước cơ bản:

Bước 1: Lập hệ phương trình

- Chọn các ẩn số (thường là vận tốc) và xác định điều kiện của chúng.

- Biểu thị các đại lượng chưa biết (như quãng đường, thời gian) theo ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập các phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng đã biểu thị. Trong dạng bài này, các phương trình thường xuất phát từ:

+ Tổng quãng đường đã đi.

+ Thời gian di chuyển của từng vật đến điểm gặp hoặc hoàn thành chặng đường.

+ Mối quan hệ đặc biệt về thời gian hoặc quãng đường sau khi gặp nhau.

Bước 2: Giải hệ phương trình

Sử dụng các phương pháp đại số như thế, cộng đại số, hoặc đặt ẩn phụ để tìm giá trị của các ẩn số.

Bước 3: Kết luận

Kiểm tra xem các giá trị tìm được có thỏa mãn điều kiện ban đầu của ẩn không và đưa ra câu trả lời cuối cùng.