Đề bài

Trong mặt phẳng \(Oxy,\) cho điểm \(A\left( {1;\,2} \right),\,B( - 1;1)\) và đường thẳng \(d:x - y + 3 = 0\). Tìm tọa độ điểm \(M \in d\) để \(AM + BM\) nhỏ nhất.

Phương pháp giải

Vẽ hình.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đặt \(f(x,y) = x - y + 3\).

Vì \(f(1;2).f( - 1;1) > 0\) nên hai điểm \(A,\,B\) nằm về cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d.

 

Gọi \(B'\) đối xứng với \(B\) qua d suy ra tọa độ của \(B'(2;2)\).

Suy ra \(AM + BM = AM + B'M \ge AB'\).

Nên \(AM + BM\) nhỏ nhất khi \(A,\,M,\,B'\) thẳng hàng hay M là giao điểm của \(d\) và \(AB'\).

Suy ra M có tọa độ là \(( - 1;\,2)\).