Đề bài

Giải phương trình:

\(\frac{1}{{{x^2} + 9x + 20}} + \frac{1}{{{x^2} + 11x + 30}} + \frac{1}{{{x^2} + 13x + 42}} = \frac{1}{{18}}\).

Phương pháp giải

Phân tích mẫu thức của cách phân thức ở vế trái thành nhân tử.

Từ đó đưa về dạng \(\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(\frac{1}{{{x^2} + 9x + 20}} + \frac{1}{{{x^2} + 11x + 30}} + \frac{1}{{{x^2} + 13x + 42}} = \frac{1}{{18}}\)

Phân tích thành nhân tử:

* \({x^2} + 9x + 20\)\( = {x^2} + 4x + 5x + 20\)\( = \left( {{x^2} + 4x} \right) + \left( {5x + 20} \right)\)\( = x\left( {x + 4} \right) + 5\left( {x + 4} \right)\)\( = \left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right)\)

* \({x^2} + 11x + 30\)\( = {x^2} + 5x + 6x + 30\)\( = \left( {{x^2} + 5x} \right) + \left( {6x + 30} \right)\)\( = x\left( {x + 5} \right) + 6\left( {x + 5} \right)\)\( = \left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right)\)

* \({x^2} + 13x + 42\)\( = {x^2} + 6x + 7x + 42\)\( = \left( {{x^2} + 6x} \right) + \left( {7x + 42} \right)\)\( = x\left( {x + 6} \right) + 7\left( {x + 6} \right)\)\( = \left( {x + 6} \right)\left( {x + 7} \right)\)

suy ra phương trình trở thành \(\frac{1}{{(x + 4)(x + 5)}} + \frac{1}{{(x + 5)(x + 6)}} + \frac{1}{{(x + 6)(x + 7)}} = \frac{1}{{18}}\)

Điều kiện xác định: \(x \ne 4;{\mkern 1mu} x \ne 5;{\mkern 1mu} x \ne 6;{\mkern 1mu} x \ne 7\)

Ta có: \(\frac{1}{{(x + 4)(x + 5)}} + \frac{1}{{(x + 5)(x + 6)}} + \frac{1}{{(x + 6)(x + 7)}} = \frac{1}{{18}}\)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{x + 4}} - \frac{1}{{x + 5}} + \frac{1}{{x + 5}} - \frac{1}{{x + 6}} + \frac{1}{{x + 6}} - \frac{1}{{x + 7}} = \frac{1}{{18}}\\\frac{1}{{x + 4}} - \frac{1}{{x + 7}} = \frac{1}{{18}}\\\frac{{x + 7 - \left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 7} \right)}} = \frac{1}{{18}}\\\frac{3}{{(x + 4)(x + 7)}} = \frac{1}{{18}}\end{array}\)

suy ra \((x + 4)(x + 7) = 54\)

\({x^2} + 7x + 4x + 28 = 54\)

\({x^2} + 11x - 26 = 0\)

\({x^2} + 13x - 2x - 26 = 0\)

\(x\left( {x + 13} \right) - 2\left( {x + 13} \right) = 0\)

\(\left( {x + 13} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\)

Do đó \(x + 13 = 0\) hoặc \(x - 2 = 0\)

           \(x =  - 13\) (TM)   \(x = 2\) (TM)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x =  - 13;x = 2\).