Đề bài

Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ \(AH \bot BD\) tại H.

a) Chứng minh rằng $\Delta ABD\backsim \Delta HBA$.

b) Chứng minh rằng \(B{C^2} = BD.DH\).

c) Kẻ DE là đường phân giác của tam giác ABD. Gọi I là giao điểm của DE và AH. Chứng minh \(\Delta AIE\) cân và \(A{E^2} = IH.EB\).

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\widehat {BAD} = \widehat {AHB} = 90^\circ \)

Từ đó chứng minh $\Delta ABD\backsim \Delta HBA$ (g.g)

b) Chứng minh $\Delta ABD\backsim \Delta HAD\left( g.g \right)$ suy ra \(\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}\) hay \(A{D^2} = BD.DH\)

Kết hợp đặc điểm của hình chữ nhật ta có AD = BC

Do đó \(B{C^2} = BD.DH\) (đpcm)

c) Chứng minh \(\Delta AIE\) cân tại A

Sử dụng tính chất tia phân giác cho DE và từ $\Delta ABD\backsim \Delta HAD$ suy ra \(\widehat {DBA} + \widehat {EDB} = \widehat {HAD} + \widehat {EDA}\)

Sử dụng tính chất góc ngoài cho \(\Delta AID\) và \(\Delta DEB\) để có \(\widehat {AIE} = \widehat {HAD} + \widehat {EDA}\) và \(\widehat {AEI} = \widehat {EBD} + \widehat {BDE}\)

Suy ra \(\widehat {AIE} = \widehat {AEI}\) nên \(\Delta AIE\) cân tại A.

Chứng minh \(A{E^2} = IH.EB\)

Từ \(\Delta AIE\) cân tại A có AE = AI

Kết hợp tính chất đường phân giác DI của tam giác \(\Delta ADH\) suy ra \(\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{DH}}{{DA}}\) nên \(\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{DH}}{{DA}}\)

Chứng minh \(\frac{{DH}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{BD}}\) suy ra \(\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{AD}}{{BD}}\)

Kết hợp tính chất đường phân giác DE của tam giác \(\Delta ADB\) suy ra \(\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AD}}{{BD}}\)

Suy ra \(\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{AE}}{{EB}}\), do đó \(A{E^2} = IH.EB\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên \(\widehat {BAD} = 90^\circ \).

Vì \(AH \bot BD\) tại H nên ta có: \(\widehat {BAD} = \widehat {AHB} = 90^\circ \).

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBA\) có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) (cmt)

\(\widehat {ABD}\) chung

nên $\Delta ABD\backsim \Delta HBA$ (g.g) (đpcm)

b) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HAD\) có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {AHD} = 90^\circ \)

\(\widehat {BDA}\) chung

nên $\Delta ABD\backsim \Delta HAD\left( g.g \right)$

suy ra \(\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}\) hay \(A{D^2} = BD.DH\)

Mà AD = BC (do ABCD là hình chữ nhật)

Do đó \(B{C^2} = BD.DH\) (đpcm)

c) Chứng minh \(\Delta AIE\) cân tại A

Vì DE là đường phân giác của tam giác ABD nên \(\widehat {ADE} = \widehat {EDB}\)

Vì $\Delta ABD\backsim \Delta HAD\left( cmt \right)$ nên \(\widehat {DBA} = \widehat {HAD}\) (hai góc tương ứng)

suy ra \(\widehat {DBA} + \widehat {EDB} = \widehat {HAD} + \widehat {EDA}\) (1)

Xét \(\Delta AID\) có \(\widehat {AIE} = \widehat {IAD} + \widehat {IDA} = \widehat {HAD} + \widehat {EDA}\) (tính chất góc ngoài) (2)

Xét \(\Delta DEB\) có \(\widehat {AEI} = \widehat {EBD} + \widehat {BDE}\) (tính chất góc ngoài) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {AIE} = \widehat {AEI}\).

Do đó \(\Delta AIE\) cân tại A (đpcm)

Chứng minh \(A{E^2} = IH.EB\)

\(\Delta AIE\) cân tại A suy ra AE = AI

Xét \(\Delta ADH\) có DI là đường phân giác nên \(\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{DH}}{{DA}}\), suy ra \(\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{DH}}{{DA}}\) (4)

Vì $\Delta ABD\backsim \Delta HAD\left( cmt \right)$ nên \(\frac{{DH}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{BD}}\) (5)

Từ (4) và (5) suy ra \(\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{AD}}{{BD}}\) (6)

Xét \(\Delta ADB\) có DE là đường phân giác nên \(\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AD}}{{BD}}\) (7)

Từ (6) và (7) suy ra \(\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{AE}}{{EB}}\), do đó \(A{E^2} = IH.EB\) (đpcm)