Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác vuông tại B có AB = a, \(BC = a\sqrt 3 \). Biết SA = 2a và \(SA \bot (ABC)\).

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

b) Gọi M là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBM).

Phương pháp giải

a) Kẻ \(AH \bot SB\), H thuộc SB. Chứng minh \(d\left( {A,(SBC)} \right) = AH\).

b) Kẻ \(AE \bot BM\), \(AF \bot SE\). Chứng minh

\(d\left( {A,(SBM)} \right) = AF\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài các cạnh trên.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Kẻ \(AH \bot SB\), H thuộc SB.

Vì \(SA \bot (ABC)\) nên \(SA \bot BC\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AH\).

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot (SBC)\).

Khi đó \(d\left( {A,(SBC)} \right) = AH = \frac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2a.a}}{{\sqrt {{{(2a)}^2} + {a^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}a\).

b) Kẻ \(AE \bot BM\), \(AF \bot SE\).

Vì \(SA \bot (ABC)\) nên \(SA \bot BM\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BM \bot AE\\BM \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BM \bot (SAE) \Rightarrow BM \bot AF\).

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}AF \bot BM\\AF \bot SE\end{array} \right. \Rightarrow AF \bot (SBM) \Rightarrow d\left( {A,(SBM)} \right) = AF\).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại B: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 2a\).

Vì BM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyển AC nên \(AM = BM = \frac{{AC}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\).

Khi đó \(\Delta ABM\) là tam giác đều cạnh a, suy ra \(AE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Khi đó \(d\left( {A,(SBM)} \right) = AF = \frac{{AE.SA}}{{\sqrt {A{E^2} + S{A^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.2a}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt {57} }}{{19}}a\).