Đề bài

Kim tự tháp bằng kính tại bảo tàng Louvre ở Paris có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao là 21 m và cạnh đáy dài 34 m. Góc nhị diện tạo bởi hai mặt bên có chung một cạnh của kim tứ tháp có số đo bằng bao nhiêu độ (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Phương pháp giải

Mô hình hóa kim tự tháp bằng chóp tứ giác đều S.ABCD như hình. O là tâm đáy ABCD.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SD.

Tính \([A,SD,C] = \widehat {AHC}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Mô hình hóa kim tự tháp bằng chóp tứ giác đều S.ABCD như hình. O là tâm đáy ABCD.

Khi đó, SO = 21 và AB = 34 (m).

Vì S.ABCD là chóp đều nên \(SO \bot (ABCD) \Rightarrow SO \bot AC\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot SO\\AC \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot (SBD) \Rightarrow AC \bot SD\) (1)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SD, do đó \(OH \bot SD\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(SD \bot (AHC)\), do đó \(HC \bot SD\) và \(HA \bot SD\).

Như vậy \([A,SD,C] = \widehat {AHC}\).

Ta có \(OD = \frac{{BD}}{2} = \frac{{CD\sqrt 2 }}{2} = \frac{{34\sqrt 2 }}{2} = 17\sqrt 2 \).

Xét \(\Delta SOD\) vuông tại O, đường cao OH:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{SO.OD}}{{\sqrt {S{O^2} + O{D^2}} }} = \frac{{21.17\sqrt 2 }}{{\sqrt {{{21}^2} + {{\left( {17\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{{357\sqrt 2 }}{{\sqrt {1019} }}\).

\(AH = CH = \sqrt {O{H^2} + O{C^2}}  = \sqrt {\frac{{843880}}{{1019}}} \).

Xét \(\Delta AHC\): \(\cos \widehat {AHC} = \frac{{A{H^2} + C{H^2} - A{C^2}}}{{2AH.CH}} =  - \frac{{289}}{{730}} \Rightarrow \widehat {AHC} \approx {113^o}\).

Góc nhị diện tạo bởi hai mặt bên có chung một cạnh của kim tứ tháp có số đo xấp xỉ \({113^o}\).