Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật \(ABCD\) biết \(BC\) có phương trình \(6x - 7y + 32 = 0\), hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(BD\) là \(K\left( {1;3} \right)\) và đường thẳng \(BD\) đi qua điểm \(H\left( { - 1;\frac{5}{2}} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(A\).

Phương pháp giải

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) làm vecto pháp tuyến là : \(d:a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

 

+ Đường thẳng \(BD\)  đi qua 2 điểm \(H,K\) nên nhận vectơ \(\overrightarrow {HK}  = \left( {2;\frac{1}{2}} \right)\) làm vectơ chỉ phương

\( \Rightarrow BD\) có 1 vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 4} \right)\) nên \(BD\) có phương trình \(x - 4y + 11 = 0\).

+ \(B = BC \cap BD \Rightarrow \) tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}6x - 7y + 32 = 0\\x - 4y + 11 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y = 2\end{array} \right.\).

Suy ra \(B\left( { - 3;2} \right)\).

+ Đường thẳng \(AB\) vuông góc với \(BC\) nên \(AB\) có dạng \(7x + 6y + c = 0\).

\(AB\) đi qua điểm \(B\left( { - 3;2} \right)\) nên \(7\left( { - 3} \right) + 6.2 + c = 0 \Leftrightarrow c = 9\).

Vậy \(AB\) có phương trình\(7x + 6y + 9 = 0\)

+ Đường thẳng \(AK\) đi qua điểm \(K\) và vuông góc với \(BD\) nên có phương trình \(4x + y - 7 = 0\).

+ \(A = AB \cap AK \Rightarrow A\left( {3; - 5} \right)\).