Đề bài

Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{{1^2}}}{{{2^2} - 1}}.\frac{{{3^2}}}{{{4^2} - 1}}.\frac{{{5^2}}}{{{6^2} - 1}}.....\frac{{{n^2}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} - 1}}\).

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về hiệu hai bình phương để biến đổi các mẫu thức, từ đó rút gọn biểu thức.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(A = \frac{{{1^2}}}{{{2^2} - 1}}.\frac{{{3^2}}}{{{4^2} - 1}}.\frac{{{5^2}}}{{{6^2} - 1}}.....\frac{{{n^2}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} - 1}}\)

\(A = \frac{{{1^2}}}{{\left( {2 - 1} \right)\left( {2 + 1} \right)}}.\frac{{{3^2}}}{{\left( {4 - 1} \right)\left( {4 + 1} \right)}}.\frac{{{5^2}}}{{\left( {6 - 1} \right)\left( {6 + 1} \right)}}.....\frac{{{n^2}}}{{\left( {n + 1 - 1} \right)\left( {n + 1 + 1} \right)}}\)

\(A = \frac{{{1^2}}}{{1.3}}.\frac{{{3^2}}}{{3.5}}.\frac{{{5^2}}}{{5.7}}.....\frac{{{n^2}}}{{n\left( {n + 2} \right)}}\)

\(A = \frac{1}{3}.\frac{3}{5}.\frac{5}{7}.....\frac{n}{{n + 2}}\)

\(A = \frac{1}{{n + 2}}\)

Vậy \(A = \frac{1}{{n + 2}}\).