Đề bài

Cho tam giác ABC (AB < AC) vuông tại A có đường cao AH.

a) Chứng minh rằng $\Delta ABC\backsim \Delta HAC$.

b) Lấy điểm I thuộc đoạn AH (I không trùng với A, H). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với CI tại K. Chứng minh rằng \(CH.CB = CI.CK\).

c) Tia BK cắt tia HA tại điểm D. Chứng minh \(CH.CB + DK.DB = C{D^2}\).

Phương pháp giải

a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\) có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) (gt)

\(\widehat {ACB}\) chung

nên $\Delta ABC\backsim \Delta HAC$ (g.g)

b) Chứng minh $\Delta CHI\backsim \Delta CKB$ (g.g) suy ra $CH\cdot CB=CI\cdot CK$

c) Chứng minh \(I\) là trực tâm của \(\Delta BDC\), suy ra \(BI \bot DC\).

Gọi \(M\) là giao điểm của BI và DC, khi đó \(BM \bot CD\) nên \(\widehat {BMC} = 90^\circ \)

Chứng minh $\Delta CMI\backsim \Delta CDK$ (g.g) suy ra \(CD \cdot CM = CI \cdot CK\)

Kết hợp với phần b) ta được \(CH \cdot CB = CD \cdot CM\left( { = CI \cdot CK} \right)\)  (1)

Chứng minh $\Delta MDB \backsim \Delta KDC$ (g.g) suy ra \(DK \cdot DB = DM \cdot DC\) (2)

Cộng (1) và (2) để được điều phải chứng minh.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\) có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) (gt)

\(\widehat {ACB}\) chung

nên $\Delta ABC\backsim \Delta HAC$ (g.g)

b) Xét \(\Delta CHI\) và \(\Delta CKB\) có:

\(\widehat {CHI} = \widehat {CKB} = 90^\circ \) (gt)

\(\,\widehat {HCI}\) chung

nên $\Delta CHI\backsim \Delta CKB$ (g.g)

suy ra \(\frac{{CH}}{{CK}} = \frac{{CI}}{{CB}}\)

do đó \(CH \cdot CB = CI \cdot CK\)

c) Vì \(DH \bot BC\) (do \(HA \bot BC\), D thuộc tia HA) nên DH là đường cao của \(\Delta BDC\).

Vì \(CK \bot BD\) (do \(CI \bot BK\)) nên CK là đường cao của \(\Delta BDC\).

Mà DH cắt CK tại I nên \(I\) là trực tâm của \(\Delta BDC\), suy ra \(BI \bot DC\).

Gọi \(M\) là giao điểm của BI và DC, khi đó \(BM \bot CD\) nên \(\widehat {BMC} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta CMI\) và \(\Delta CDK\), ta có:

\(\widehat {CMI} = \widehat {CKD} = 90^\circ \) (cmt)

\(\widehat {DCK}\) chung

nên $\Delta CMI\backsim \Delta CKD$ (g.g)

suy ra \(\frac{{CM}}{{CK}} = \frac{{CI}}{{CD}}\), do đó \(CD \cdot CM = CI \cdot CK\)

Mà từ phần b) ta có: \(CH \cdot CB = CI \cdot CK\)

Suy ra \(CH \cdot CB = CD \cdot CM\left( { = CI \cdot CK} \right)\)  (1)

Xét \(\Delta MDB\) và \(\Delta KDC\), ta có:

\(\widehat {DMB} = \widehat {DKC} = 90^\circ \) (cmt)

\(\widehat {BDC}\) chung

nên $\Delta MDB \backsim \Delta KDC$ (g.g)

suy ra \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{DM}}{{DK}}\), do đó \(DK \cdot DB = DM \cdot DC\) (2)

Từ (1) và (2) ta có:

\(CH \cdot CB + DK \cdot DB = CD \cdot CM + DM \cdot DC\)\( = DC \cdot (MD + MC) = D{C^2}\)