Đề bài

Cho đa thức \(f\left( x \right) = a\,{x^3} + b{x^2} + cx + d\)  với \(a\) là số nguyên dương và \(f\left( 5 \right) - f\left( 4 \right) = 2019\). Chứng minh \(f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là hợp số.

Phương pháp giải

Chứng minh \(f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là một hợp số ta chứng minh nó có thể phân tích được thành tích của hai số tự nhiên nhỏ hơn nó.

*Lưu ý: Hợp số là một số tự nhiên có thể biểu diễn thành tích của hai số tự nhiên khác nhỏ hơn nó.

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có:

\(f\left( 5 \right) = 125.a + 25.b + 5.c + d\)

\(f\left( 4 \right) = 64a + 16.b + 4.c + d\)

\( \Rightarrow f\left( 5 \right) - f\left( 4 \right) = 61a + 9b + c = 2019\)

Lại có:

\(f\left( 7 \right) = 343.a + 49.b + 7c + d\)

\(f\left( 2 \right) = 8a + 4b + 2c + d\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\\ = 335a + 45b + 5c\\ = 5.\left( {67a + 9b + c} \right)\\ = 5.1019\end{array}\)

\( \Rightarrow f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là hợp số. (đpcm).