Đề bài

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng

\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 0\\z =  - 5 + t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4 - 2t'\\z = 5 + 3t'\end{array} \right.\).

Phương trình đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) là:

• A. \(\dfrac{{x - 4}}{2} = \dfrac{y}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 2}}\)
• B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - t\\y = 3t\\z =  - 2 + t\end{array} \right.\)
• C. \(\dfrac{{x + 4}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z - 2}}{2}\)
• D. \(\dfrac{{x - 4}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 2}}{2}\)

Phương pháp giải

- Gọi tọa độ hai điểm \(M,N\) lần lượt thuộc hai đường thẳng.

- Dựa vào điều kiện \(MN\) là đường vuông góc chung để tìm tọa độ \(M,N\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi \(M\left( {1 + t;0;t - 5} \right) \in {d_1}\), \(N\left( {0;4 - 2t';5 + 3t'} \right) \in {d_2}\).

Suy ra \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1 - t;4 - 2t';10 + 3t' - t} \right)\).

Đường thẳng \({d_1}\) có VTCP \(\overrightarrow a  = \left( {1;0;1} \right)\), \({d_2}\) có VTCP \(\overrightarrow b  = \left( {0; - 2;3} \right)\).

Để \(MN\) là đoạn vuông góc chung thì \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow a  = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow b  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 3\\t' =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {4;0; - 2} \right)\,\\N\left( {0;6;2} \right)\end{array} \right.\).

Phương trình đường vuông góc chung là \(MN:\dfrac{{x - 4}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 2}}{2}\).

Đáp án : D