Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(\sqrt 3 \). Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD và DC. Gọi H là giao điểm của CN và DM, biết SH vuông góc với (ABCD), SH = 3. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBP).

Phương pháp giải

Gọi BP giao NC tại F.

Chứng minh \((SBP) \bot (SNC)\).

Xét trong mặt phẳng (SNC), lấy E thuộc SF sao cho \(HE \bot SF\).

Chứng minh \(d\left( {C,(SBP)} \right) = d\left( {H,(SBP)} \right) = HE\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, tính HE.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi BP giao NC tại F.

Xét \(\Delta ADM\) và \(\Delta DCN\), có:

\(\widehat {DAM} = \widehat {CDN} = {90^o}\);

AD = CD (cạnh hình vuông);

AM = DN (một nửa cạnh hình vuông).

Do đó \(\Delta ADM = \Delta DCN\)(c.g.c), suy ra \(\widehat {ADM} = \widehat {DCN}\).

Mà \(\widehat {ADM} + \widehat {MDC} = {90^o}\) nên \(\widehat {DCN} + \widehat {MDC} = {90^o} \Rightarrow \widehat {DHC} = {90^o} \Rightarrow NC \bot MD\).

Xét tứ giác BMDP có BM // DP và BM = DP nên BMDP là hình bình hành, suy ra MD // BP.

Mà \(NC \bot MD\) suy ra \(NC \bot BP\).

Vì \(SH \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot BP\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BP \bot NC\\BP \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BP \bot (SNC) \Rightarrow (SBP) \bot (SNC)\).

Xét trong mặt phẳng (SNC), lấy E thuộc SF sao cho \(HE \bot SF\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}(SNC) \bot (SBP)\\HE \bot SF\\HE \in (SNC)\\(SNC) \cap (SBP) = SF\end{array} \right.\) suy ra \(HE \bot (SBP)\), tức \(d\left( {H,(SBP)} \right) = HE\).

Vì EP // HD và P là trung điểm của CD nên PF là đường trung bình \(\Delta DHC\), suy ra HF = CF.

Mà F thuộc (SBP) nên \(d\left( {C,(SBP)} \right) = d\left( {H,(SBP)} \right) = HE\).

Xét \(\Delta DNC\) vuông tại D, đường cao DH:

\(D{C^2} = HC.CN \Leftrightarrow HC = \frac{{D{C^2}}}{{CN}} = \frac{{D{C^2}}}{{\sqrt {D{C^2} + N{D^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {3 + \frac{3}{4}} }} = \frac{{2\sqrt {15} }}{5}\).

Vì F là trung điểm của CH nên \(HF = \frac{{CH}}{2} = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\).

Xét \(\Delta SHC\) vuông tại H, đường cao HE:

\(\frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{1}{{H{F^2}}} + \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{5}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} = \frac{{16}}{9} \Leftrightarrow HE = \frac{3}{4} = 0,75\).