Trong tiết thể dục học về kĩ thuật chuyền bóng hơi, Thanh và Minh đang tập chuyền bóng cho nhau. Thanh ném bóng cho Minh đỡ, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang phải của Thanh và rơi xuống vị trí cách Minh 0,5 (m) và cách Thanh 4,5 (m) được mô tả bằng hình vẽ bên dưới.
Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): ax + by + cz + d = 0 và vuông góc với mặt đát. Khoảng cách từ bạn Minh đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)?
Tìm tọa độ của Minh và vị trí bóng rơi M.
Lập phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua gốc tọa độ, nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow k } \right]\) làm vecto pháp tuyến.
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ Minh đến \(\left( \alpha \right)\).
Chọn hệ trục như hình vẽ. Gọi M là điểm mà quả bóng chạm đất.
Khi đó \({x_M} = 0,5\), \({y_M} = \sqrt {4,{5^2} - 0,{5^2}} = 2\sqrt 5 \).
Ta có \(\overrightarrow {OM} = (0,5;2\sqrt 5 ;0)\) và vecto pháp tuyến của (Oxy) là \(\overrightarrow k = (0;0;1)\).
Vì O, M thuộc \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \alpha \right) \bot (Oxy)\) nên giả sử vecto pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow n \), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n \bot \overrightarrow {OM} \\\overrightarrow n \bot \overrightarrow k \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow k } \right] = \left( { - 2\sqrt 5 ;0,5;0} \right) \)
\(= - \frac{1}{2}\left( {4\sqrt 5 ; - 1;0} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:
\(4\sqrt 5 \left( {x - 0} \right) - \left( {y - 0} \right) + 0\left( {z - 0} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow 4\sqrt 5 x - y = 0\).
Vị trí bạn Minh có tọa độ là \(\left( {0;2\sqrt 5 ;0} \right)\).
Khoảng cách từ bạn Minh đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:
\(\frac{{\left| {4\sqrt 5 .0 - 1.2\sqrt 5 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {4\sqrt 5 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{9} \approx 0,5\) (m).
Danh sách bình luận