Đề bài

Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 1}}\), \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{1}{{1 - \sqrt x }} + \frac{2}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0\), \(x \ne 1\).

1) Tính giá trị biểu thức A tại x = 9.

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\).

3) Cho P = A.B. Tìm các giá trị nguyên của x để |P| + P = 0.

Phương pháp giải

1) Kiểm tra điều kiện của x. Nếu thỏa mãn, thay x = 9 vào A.

2) Kết hợp các tính chất của căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức.

3) Rút gọn P. Lập luận suy ra \(P \le 0\). Giải bất phương trình, kết hợp ĐKXĐ để tìm x.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

1) Thay x = 9 (thỏa mãn điều kiện) vào A, ta được:

\(A = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{\sqrt 9  - 2}}{{\sqrt 9  - 1}} = \frac{1}{2}\).

Vậy khi x = 9 thì \(A = \frac{1}{2}\).

2) \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{1}{{1 - \sqrt x }} + \frac{2}{{x - 1}}\) (\(x \ge 0\), \(x \ne 1\))

\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{2}{{x - 1}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} + \frac{2}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x - \sqrt x  - \sqrt x  - 1 + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\) (đpcm).

3) \(P = AB = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 1}}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}}\).

Ta có |P| + P = 0, suy ra |P| = -P. Do đó, \(P \le 0\).

Suy ra \(\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}} \le 0\). Mà \(\sqrt x  + 1 > 0\) nên \(\sqrt x  - 2 \le 0\)

\(\sqrt x  \le 2\)

\(x \le 4\).

Kết hợp với điều kiện \(x \ge 0\), \(x \ne 1\) và x nguyên ta có các giá trị \(x \in \{ 0;2;3;4\} \) thỏa mãn.

Vậy để |P| + P = 0 thì \(x \in \{ 0;2;3;4\} \).