Đề bài

Một  khách sạn có 50 phòng. Hiện tại mỗi phòng khách sạn cho thuê mới giá 400 000 đồng một ngày và toàn bộ phòng đã được cho thuê hết. Biết cứ mỗi lần khách sạn tăng giá phòng thêm 20 000 đồng một ngày thì có thêm 2 phòng trống. Hỏi khách sạn nên tăng giá phòng thêm bao nhiêu để doanh thu trong mỗi ngày của khách sạn là lớn nhất.

Phương pháp giải

Gọi số lần tăng giá thuê là \(x\), \(x \in \mathbb{N}\)

Biểu diễn giá phòng sau \(x\) lần tăng giá, số phòng cho thuê sau \(x\) lần tăng giá

Viết biểu thức biểu diễn doanh thu.

Áp dụng BĐT Cauchy để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

Từ đó suy ra x. Nếu x là giá trị không nguyên, ta xét x bằng 2 giá trị nguyên trước vào sau nó.

Từ đó tính doanh thu và giá phòng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi số lần tăng giá thuê là \(x\), \(x \in \mathbb{N}\)

Giá phòng sau \(x\) lần tăng giá là \(400 + 20x\) nghìn đồng.

Số phòng cho thuê sau \(x\) lần tăng giá là \(50 - 2x\) phòng.

Khi đó doanh thu là:

\((50 - 2x)(400 + 20x) = 10(50 - 2x)(40 + 2x) \le 10 \cdot \frac{{{{\left( {50 - 2x + 40 + 2x} \right)}^2}}}{4} = 20250\)

Dấu "=" xảy ra khi \(50 - 2x = 40 + 2x\)

                                \(2x + 2x = 50 - 40\)

                                \(4x = 10\)

                                 \(x = 2,5\)

Vì x là số tự nhiên nên ta xét giá trị \(x = 2\) và \(x = 3\).

+ Xét \(x = 2\) thì doanh thu là: \((50 - 2 \cdot 2)(400 + 20 \cdot 2) = 20240\) (nghìn đồng).

+ Xét \(x = 3\) thì doanh thu là: \((50 - 2 \cdot 3)(400 + 20 \cdot 3) = 20240\) (nghìn đồng).

Vậy doanh thu lớn nhất là $20240$ nghìn đồng.

Lúc đó, giá phòng là \(400 + 20 \cdot 2 = 440\) nghìn đồng hoặc \(400 + 20 \cdot 3 = 460\) nghìn đồng.

Mở rộng

Lý thuyết chính được áp dụng ở đây là Bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là Bất đẳng thức AM-GM - Trung bình cộng - Trung bình nhân). Đối với hai số thực không âm $a$ và $b$, bất đẳng thức Cauchy được phát biểu như sau: $a + b \ge 2\sqrt{ab}$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = b$.

Từ bất đẳng thức này, ta có thể suy ra một dạng hữu ích để tìm giá trị lớn nhất của tích: $ab \le \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$. Điều này có nghĩa là, nếu tổng của hai số không đổi, thì tích của chúng sẽ đạt giá trị lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.

Trong bài toán khách sạn, các bước áp dụng lý thuyết được thể hiện rõ ràng:

Xác định biến và biểu diễn các đại lượng: Đầu tiên, chúng ta gọi số lần tăng giá thuê là $x$, với $x$ là số tự nhiên ($x \in \mathbb{N}$).

Giá phòng sau $x$ lần tăng giá được biểu diễn là $400 + 20x$ (nghìn đồng).

Số phòng cho thuê sau $x$ lần tăng giá được biểu diễn là $50 - 2x$ (phòng). Lưu ý rằng số phòng phải không âm, tức là $50 - 2x \ge 0 \implies x \le 25$.

Viết biểu thức doanh thu: Doanh thu trong mỗi ngày của khách sạn là tích của giá phòng và số phòng cho thuê.

Doanh thu $= (50 - 2x)(400 + 20x)$.

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy: Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta cần biến đổi biểu thức doanh thu để có dạng tích của hai số có tổng không đổi.

Doanh thu $= (50 - 2x) \cdot 20(20 + x) = 10(50 - 2x)(40 + 2x)$.

Bây giờ, ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai biểu thức $A = 50 - 2x$ và $B = 40 + 2x$.

Tổng của hai biểu thức này là $A + B = (50 - 2x) + (40 + 2x) = 90$. Tổng này là một hằng số.

Theo bất đẳng thức Cauchy, tích $AB$ sẽ đạt giá trị lớn nhất khi $A=B$.

$10(50 - 2x)(40 + 2x) \le 10 \cdot \frac{{{{\left( {(50 - 2x) + (40 + 2x)} \right)}^2}}}{4} \\= 10 \cdot \frac{{{{90}^2}}}{4} = 10 \cdot \frac{{8100}}{4} = 20250.$

Tìm giá trị của $x$ để doanh thu lớn nhất: Dấu bằng xảy ra khi $50 - 2x = 40 + 2x$.

Giải phương trình này: $4x = 10 $ suy ra $x = 2,5$.

Xử lý điều kiện số nguyên: Vì $x$ phải là số lần tăng giá, nên $x$ phải là một số tự nhiên. Khi giá trị $x = 2,5$ không phải là số tự nhiên, chúng ta cần xét các giá trị nguyên gần nhất là $x = 2$ và $x = 3$.

Với $x=2$, doanh thu là $20240$ nghìn đồng.

Với $x=3$, doanh thu là $20240$ nghìn đồng.

Trong trường hợp này, cả hai giá trị $x=2$ và $x=3$ đều cho cùng một doanh thu lớn nhất là $20240$ nghìn đồng.

Từ đó tính được giá phòng tương ứng.