Đề bài

Một công ty quảng cáo muốn làm một bức tranh trang trí hình MNEIF ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC = 6 m, chiều dài CD = 12 m (hình vẽ bên). Cho biết MNEF là hình chữ nhật có MN = 4 m, cung EIF có hình dạng là một phần của parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua 2 điểm C, D. Đơn giá làm bức tranh là 900 000 đồng/\({m^2}\). Hỏi công ty đó cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó (đơn vị: triệu đồng)?

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp.

Từ tọa độ các điểm đồ thị đi qua, lập phương trình parabol.

Áp dụng công thức tính diện tích ứng dụng tích phân.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gắn hệ trục tọa độ với O là trung điểm của MN, các điểm N, C thuộc tia Ox, đỉnh I thuộc tia Oy.

Parabol có phương trình dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) (a < 0).

Vì parabol đi qua các điểm I(0; 6), C(6; 0), D(-6; 0) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}6 = a{.0^2} + b.0 + c\\0 = a{.6^2} + b.6 + c\\0 = a{( - 6)^2} + b( - 6) + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{6}\\b = 0\\c = 6\end{array} \right. \Rightarrow y =  - \frac{1}{6}{x^2} + 6\).

Diện tích bức tranh là \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| { - \frac{1}{6}{x^2} + 6} \right|dx}  = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( { - \frac{1}{6}{x^2} + 6} \right)dx}  = \frac{{208}}{9}\) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Số tiền cần dùng là \(\frac{{208}}{9}.900000 = 20800000\) đồng = 20,8 triệu đồng.

Mở rộng

Các lý thuyết và công thức được áp dụng:

1. Phương pháp tọa độ:

Việc sử dụng hệ trục tọa độ là một nguyên tắc cơ bản của hình học giải tích để chuyển bài toán hình học sang bài toán đại số. Hệ trục được chọn sao cho phương trình parabol có dạng đơn giản nhất.

2. Xác định phương trình đường parabol:

Phương trình parabol có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).

Từ các điểm mà đồ thị qua, thay tọa độ vào phương trình trên để tìm được hệ số a, b, c.

3. Diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân:

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b], trục hoành, đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \).