Đề bài

Cho phương trình bậc hai \(\sqrt 3 {x^2} - 2x - \sqrt 3  = 0\)

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức: \(C = 2\sqrt 3 {x_1} - x_1^2 - x_2^2 - \sqrt 3 ({x_1} - {x_2})\).

 

Phương pháp giải

a) Sử dụng \(ac < 0\) để chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Áp dụng định lí Viète và biến đổi P để xuất hiện tổng và tích của hai nghiệm.

Định lí Viète: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\).

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Phương trình\(\sqrt 3 {x^2} - 2x - \sqrt 3  = 0\) có \(a = \sqrt 3 \); \(b =  - 2\); \(c =  - \sqrt 3 \)

Vì \(a.c = \sqrt 3 .\left( { - \sqrt 3 } \right) =  - 9 < 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) \(C = 2\sqrt 3 {x_1} - x_1^2 - x_2^2 - \sqrt 3 ({x_1} - {x_2})\)

Áp dụng Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} =  - \frac{{ - 2}}{{\sqrt 3 }} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\); \({x_1}.{x_2} = \frac{{ - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} =  - 1\)

Ta có: \(C = 2\sqrt 3 {x_1} - x_1^2 - x_2^2 - \sqrt 3 ({x_1} - {x_2})\)

\(\begin{array}{l}C = 2\sqrt 3 {x_1} - x_1^2 - x_2^2 - \sqrt 3 {x_1} + \sqrt 3 {x_2}\\C = \sqrt 3 {x_1} + \sqrt 3 {x_2} - \left( {x_1^2 + x_2^2} \right)\\C = \sqrt 3 \left( {{x_1} + {x_2}} \right) - \left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]\\C = \sqrt 3 .\frac{2}{{\sqrt 3 }} - \left[ {{{\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} - 2.\left( { - 1} \right)} \right]\\C = 2 - \frac{4}{3} - 2\\C =  - \frac{4}{3}\end{array}\)

Vậy \(C =  - \frac{4}{3}\).