Đề bài

Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí A. Diện tích nhỏ nhất có thể giăng lưới là bao nhiêu mét vuông, biết rằng khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là 5 m và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là 12 m.

Phương pháp giải

Lập hàm biểu diễn diện tích khu nuôi cá theo biến x (với điều kiện của x).

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Mô hình hóa bài toán đã cho như hình trên. AH và AK lần lượt là khoảng cách từ A đến bờ dọc BD và bờ ngang CD.

Theo đề bài AH = 12 m, AK = 5 m. Do đó DK = AH = 12 m, DH = AK = 5 m.

Đặt BH = x (m, x > 0).

Vì AH // CD nên \(\frac{{BH}}{{DH}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).

Vì AK // BD nên \(\frac{{DK}}{{CK}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).

Do đó \(\frac{{BH}}{{DH}} = \frac{{DK}}{{CK}}\left( { = \frac{{AB}}{{AC}}} \right)\), suy ra \(CK = \frac{{DH.DK}}{{BH}} = \frac{{5.12}}{x} = \frac{{60}}{x}\) (m).

Diện tích khu nuôi cá riêng là:

\(S = \frac{1}{2}BD.CD = \frac{1}{2}\left( {x + 5} \right)\left( {12 + \frac{{60}}{x}} \right) = 6x + \frac{{150}}{x} + 60\) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Xét hàm \(S(x) = 6x + \frac{{150}}{x} + 60\) với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\):

Ta có \(S'(x) = 6 - \frac{{150}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 5\).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có diện tích nhỏ nhất có thể giăng lưới là 120 \({m^2}\).