Đề bài

Một chiếc bát thủy tinh có bề dày của phần xung quanh là một khối tròn xoay, khi xoay hình phẳng D quanh một đường thẳng a bất kì nào đó mà khi gắn hệ trục tọa độ Oxy (đơn vị trên trục là decimet) vào hình phẳng D tại một vị trí thích hợp, thì đường thẳng a sẽ trùng với trục Ox. Khi đó hình phẳng D được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = x + \frac{1}{x}\), y = x và hai đường thẳng x = 1, x = 4. Thể tích của bề dày chiếc bát thủy tinh đó bằng bao nhiêu decimet khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right|dx} \).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Bề dày chiếc bát thủy tinh được tạo thành khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = x + \frac{1}{x}\), y = x và hai đường thẳng x = 1, x = 4.

\(V = \pi \int\limits_1^4 {\left| {{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2} - {x^2}} \right|dx} \)

\(= \pi \int\limits_1^4 {\left[ {{x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} - {x^2}} \right]dx} \)

\( = \pi \int\limits_1^4 {\left[ {2 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right]dx}  = \pi \left( {2x - \frac{1}{x}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^4}\\{_1}\end{array}} \right. \)

\(= \pi \left( {2.4 - \frac{1}{4}} \right) - \pi \left( {2.1 - \frac{1}{1}} \right) \)

\(= \frac{{27\pi }}{4} \approx 21,2\) \(\left( {d{m^3}} \right)\).