Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí A. Hãy xác định các vị trí trên bờ ngang, bờ dọc để chiều dài lưới nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó, từ cọc đến bờ ngang là 5 m và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là 12 m.
Đặt tên các điểm như hình vẽ. Đặt \(CJ = x,BK = y\,\,\,(x,y > 0,{\rm{ m}}).\)
Sử dụng định lí hai tam giác bằng nhau để suy ra \(\Delta AJC\backsim \Delta BKA\) suy ra \(xy\).
Tính diện tích khu nuôi cá BIC theo công thức tính diện tích tam giác.
Áp dụng BĐT Cauchy để tìm x, y. Từ đó tính diện tích có thể giăng.
Đặt tên các điểm như hình vẽ. Kẻ \(AJ \bot CI\), \(AK \bot IB\)
Đặt \(CJ = x,BK = y\,\,\,(x,y > 0,{\rm{ m}}).\)
Ta có AJ // BI nên \(\Delta AJC\backsim \Delta BKA\), suy ra \(\frac{{AJ}}{{CJ}} = \frac{{BK}}{{AK}}\) hay \(\frac{{12}}{x} = \frac{y}{5}\) nên \(xy = 60\)
Diện tích khu nuôi cá riêng là:
\(\begin{array}{l}{S_{\Delta BIC}} = \frac{1}{2}.BI.CI\\ = \frac{1}{2}\left( {y + 12} \right)\left( {x + 5} \right)\\ = \frac{{xy}}{2} + 6x + \frac{5}{2}y + 30\\ = \frac{{60}}{2} + 6x + \frac{5}{2}y + 30\\ = 6x + \frac{5}{2}y + 60\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\({S_{\Delta BIC}} = 6x + \frac{5}{2}y + 60 \ge 2\sqrt {6x.\frac{5}{2}y} + 60 = 2\sqrt {15xy} + 60 = 2\sqrt {15.60} + 60 = 120\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}6x = \frac{5}{2}y\\xy = 60\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}6x = \frac{5}{2}y\\xy = 60\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{{12}}y\\\frac{5}{{12}}y.y = 60\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{{12}}y\\{y^2} = 144\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 12\\x = \frac{5}{{12}}.12 = 5\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy diện tích nhỏ nhất có thể giăng là \(120{m^2}\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{2x}}{{\sqrt x + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = 9$ là
-
A.
$\dfrac{9}{2}$
-
B.
$\dfrac{9}{4}$
-
C.
$9$
-
D.
$18$
Bài 2 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{x}{{\sqrt x + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = \dfrac{2}{{2 - \sqrt 3 }}$ là
-
A.
$4$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$1$
Bài 3 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\).
Giá trị của $P$ khi $x = 3 + 2\sqrt 2 $ là:
-
A.
$4 + 3\sqrt 2 $
-
B.
$4 - 3\sqrt 2 $
-
C.
$3$
-
D.
$3\sqrt 2 $
Bài 4 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{x + 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\)với $x > 0$. So sánh $P$ với $4$.
-
A.
$P > 4$
-
B.
$P < 4$
-
C.
$P = 4$
-
D.
$P \le 4$
Bài 5 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{3\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\)với $x \ge 0$. Tìm $x$ biết $P = \sqrt x $ .
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Bài 6 :
Giá trị của biểu thức \(2\sqrt {\dfrac{{16a}}{3}} - 3\sqrt {\dfrac{a}{{27}}} - 6\sqrt {\dfrac{{4a}}{{75}}} \) là
-
A.
$\dfrac{{23\sqrt {3a} }}{{15}}$
-
B.
$\dfrac{{\sqrt {3a} }}{{15}}$
-
C.
$\dfrac{{23\sqrt a }}{{15}}$
-
D.
$\dfrac{{3\sqrt {3a} }}{{15}}$
Bài 7 :
Rút gọn biểu thức $E = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}\sqrt {\dfrac{{ab}}{{{{(a - b)}^2}}}} $ với $0 < a < b$ ta được
-
A.
$\dfrac{{\sqrt a }}{2}$
-
B.
$\dfrac{{\sqrt b }}{2}$
-
C.
$\dfrac{{ - \sqrt b }}{2}$
-
D.
$a\sqrt b $
Bài 8 :
Rút gọn biểu thức $4{a^4}{b^2}.\sqrt {\dfrac{9}{{{a^8}{b^4}}}} $ với $ab \ne 0$ ta được
-
A.
$\dfrac{{{a^2}}}{b}$
-
B.
$12$
-
C.
$6$
-
D.
$36$
Bài 9 :
Cho biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$
Bài 10 :
Cho biểu thức
$B = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$ với $x \ge 0;x \ne 1$
Bài 11 :
Cho biểu thức $C = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}$
với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$.
Bài 12 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\). Giá trị của \(P\) khi \(x = 4\) là:
-
A.
\(4\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(-2\)
-
D.
\(\dfrac{2}{3}\)
Bài 13 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\). Giá trị của \(P\) khi \(x = \dfrac{8}{{3 - \sqrt 5 }}\) là:
-
A.
\(5 + \sqrt 5 \)
-
B.
\(5\)
-
C.
\(\dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{5}\)
-
D.
\(\sqrt 5 \)
Bài 14 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4\) . Giá trị của \(P\) khi \(x\) thỏa mãn phương trình \({x^2} - 5x + 4 = 0\).
-
A.
\( - \dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(\sqrt 2 \)
-
C.
\( - 1\)
-
D.
Không tồn tại giá trị \(P.\)
Bài 15 :
Cho biểu thức \(A = \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}\)với \(x \ge 0\). So sánh \(A\) với \(2\).
-
A.
\(A > 2\)
-
B.
\(A < 2\)
-
C.
\(A = 2\)
-
D.
\(A \ge 2\)
Bài 16 :
Cho biểu thức \(B = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}}\)với \(x \ge 0\). So sánh \(A\) với \(1\).
-
A.
\(B > 1\)
-
B.
\(B < 1\)
-
C.
\(B = 1\)
-
D.
\(B \le 1\)
Bài 17 :
Cho biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4\). Tìm các giá trị của \(x\) biết \(A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{2}\) .
-
A.
\(x = 0;x = 5\)
-
B.
\(x = 0\)
-
C.
\(x = 0;x = 25\)
-
D.
\(x = 5;x = 1\)
Bài 18 :
Rút gọn biểu thức \(5\sqrt a + 6\sqrt {\dfrac{a}{4}} - a\sqrt {\dfrac{4}{a}} + 5\sqrt {\dfrac{{4a}}{{25}}} \) với \(a > 0,\) ta được kết quả là:
-
A.
\(12\sqrt a \)
-
B.
\(8\sqrt a \)
-
C.
\(6\sqrt a \)
-
D.
\(10\sqrt a \)
Bài 19 :
Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\) với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\)
Bài 20 :
Cho biểu thức \(C = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{2}{{x - \sqrt x }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x > 0;x \ne 1\)
Bài 21 :
Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\)
Bài 22 :
Cho \(A = \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x \ge 0.\) Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để \(A\) có giá trị nguyên.
-
A.
\(2\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(3\)
Bài 23 :
Rút gọn biểu thức \(D = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}\sqrt {\dfrac{b}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}} \) với \(a,b > 0\) ta được:
-
A.
\(a + b\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(\dfrac{{\sqrt b }}{2}\)
-
D.
\(2\sqrt b \)
Bài 24 :
Rút gọn biểu thức \(\dfrac{{{a^2}}}{{11}}.\sqrt {\dfrac{{121}}{{{a^4}{b^{10}}}}} \) với \(ab \ne 0\) ta được:
-
A.
\(\dfrac{1}{{\left| {{b^5}} \right|}}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{{b^5}}}\)
-
C.
\({b^5}\)
-
D.
\(\dfrac{{11}}{{{b^5}}}\)
Bài 25 :
Với \(y < 0 < x\), so sánh \(A = 2\left( {x - y} \right)x{y^3}.\dfrac{{\sqrt {{x^2}{y^3}} }}{{\sqrt {{x^4}{y^5}{{\left( {x - y} \right)}^2}} }}\) và \(0.\)
-
A.
\(A < 0\)
-
B.
\(A > 0\)
-
C.
\(A \ge 0\)
-
D.
Đáp án khác
Bài 26 :
Với \(a,b > 0\), biểu thức \(3a{b^2}.\sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{{a^4}}}} \) bằng:
-
A.
\(\dfrac{{ - 3{b^2}}}{a}\)
-
B.
\(\dfrac{{3{b^2}}}{a}\)
-
C.
\(\dfrac{{3{b^3}}}{a}\)
-
D.
\(\dfrac{{ - 3{b^3}}}{a}\)
Bài 27 :
Cho \(Q = \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\). Tìm \(x\) để \(Q = 3\)
-
A.
\(x = \pm 1\)
-
B.
\(x = 1\)
-
C.
\(x = - 1\)
-
D.
Kết quả khác
Bài 28 :
Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức \(Q = \dfrac{{2x - 3\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 2}}\) tại \(x = 2020 - 2\sqrt {2019} \)
-
A.
\(Q = 2\sqrt x + 1\,\,\,;\,\,\,2\sqrt {2019} - 1\)
-
B.
\(Q = 2\sqrt x - 1\,\,\,;\,\,\,2\sqrt {2019} - 3\)
-
C.
\(Q = \sqrt x - 2\,\,\,;\,\,\,\sqrt {2019} - 3\)
-
D.
\(Q = \sqrt x + 2\,\,\,;\,\,\,\sqrt {2019} + 1\)
Bài 29 :
Cho các biểu thức : \(P = \left( {\dfrac{{3\sqrt x }}{{x\sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{x - \sqrt x + 1}}\,\,\,\left( {x \ge 0} \right)\)
Rút gọn biểu thức \(P.\) Tìm các giá trị của \(x\) để \(P \ge \dfrac{1}{5}\).
-
A.
\(P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3}\,\,;\,\,0 \le x \le 4\)
-
B.
\(P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3}\,\,;\,\,0 \le x \le 2\)
-
C.
\(P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1}\,\,;\,\,0 \le x \le 2\)
-
D.
\(P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1}\,\,;\,\,0 \le x \le 4\)
Bài 30 :
Cho căn thức \(\sqrt {{x^2} - 4x + 4} .\)
a) Hãy chứng tỏ rằng căn thức xác định với mọi giá trị của x.
b) Rút gọn căn thức đã cho với \(x \ge 2.\)
c) Chứng tỏ rằng với mọi \(x \ge 2,\) biểu thức \(\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 4x + 4} } \) có giá trị không đổi.
Danh sách bình luận