Đề bài

Một khách sạn có 50 phòng. Hiện tại mỗi phòng cho thuê với giá 400 nghìn đồng một ngày thì toàn bộ phòng được thuê hết. Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá thêm 20 nghìn đồng thì có thêm 2 phòng trống. Giám đốc phải chọn giá phòng mới là bao nhiêu nghìn đồng để thu nhập của khách sạn trong ngày là lớn nhất?

Phương pháp giải

Gọi số lần tăng giá là x.

Lập hàm số f(x) biểu diễn thu nhập của khách sạn theo x.

Tìm x để f(x) lớn nhất, từ đó kết luận giá tiền cho thuê mỗi phòng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi số lần tăng giá là x.

Giá tiền cho thuê mỗi phòng là 400 + 20x (nghìn đồng).

Số lượng phòng được thuê là 50 – 2x (phòng).

Thu nhập của khách sạn là \((400 + 20x)(50 - 2x) =  - 40{x^2} + 200x + 20000\) (nghìn đồng).

Đặt \(f(x) =  - 40{x^2} + 200x + 20000\).

Ta có \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow  - 80x + 200 = 0 \Leftrightarrow x = 2,5\).

Vì đồ thị của f(x) là một parabol nên f(x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 2,5.

Do đó, giá tiền cho thuê mỗi phòng là \(400 + 20.2,5 = 450\) nghìn đồng để thu nhập khách sạn là lớn nhất.

Mở rộng

Để giải quyết bài toán này, ta áp dụng các lý thuyết sau:

1. Lập mô hình toán học bằng hàm số:

Chuyển đổi một bài toán thực tế thành một mô hình toán học, thường là một hàm số biểu diễn đại lượng cần tối ưu (ở đây là thu nhập) dựa trên các biến số có thể thay đổi (ở đây là giá phòng).

2. Tìm cực trị của hàm số:

Đối với một hàm số liên tục, giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của nó trên một khoảng thường xảy ra tại các điểm mà đạo hàm bậc nhất bằng 0 hoặc không xác định (gọi là điểm cực trị), hoặc tại các điểm mút của khoảng xét.

Phương pháp được sử dụng trong lời giải là tính đạo hàm của hàm thu nhập f(x) và tìm giá trị của x làm cho đạo hàm này bằng 0.