Một cái trứng khủng long đồ chơi là một khối tròn xoay được tạo thành từ 2 mảnh ghép lại. Biết mảnh trên được tạo thành khi xoay một phần tư đường elip với trục lớn là 8 và trục nhỏ là 4 quanh trục Ox và mảnh dưới được tạo thành khi xoay một phần tư đường tròn bán kính 2 quanh trục Ox như hình sau (bỏ qua độ dày của vỏ trứng).
a) Thể tích phần trong của mảnh trên được tính bởi \({V_1} = \frac{\pi }{4}\int\limits_{ - 4}^0 {\left( {16 - {x^2}} \right)dx} \).
b) Thể tích phần trong của mảnh trên gấp 2 lần thể tích phần trong của mảnh dưới.
c) Thể tích phần trong của quả trứng đồ chơi này là \(16\pi \).
d) Diện tích thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng qua trục của quả trứng là \(3\pi \).
a) Thể tích phần trong của mảnh trên được tính bởi \({V_1} = \frac{\pi }{4}\int\limits_{ - 4}^0 {\left( {16 - {x^2}} \right)dx} \).
b) Thể tích phần trong của mảnh trên gấp 2 lần thể tích phần trong của mảnh dưới.
c) Thể tích phần trong của quả trứng đồ chơi này là \(16\pi \).
d) Diện tích thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng qua trục của quả trứng là \(3\pi \).
Lập phương trình đường elip và đường tròn.
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay ứng dụng tích phân.
a) Đúng. Mảnh trên được tạo thành khi xoay một phần tư đường elip có phương trình:
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1 \Rightarrow {y^2} = 4 - \frac{{{x^2}}}{4}\).
Thể tích phần trong của mảnh trên là:
\({V_1} = \pi \int\limits_{ - 4}^0 {\left( {4 - \frac{{{x^2}}}{4}} \right)dx} = \pi \int\limits_{ - 4}^0 {\frac{{16 - {x^2}}}{4}dx} = \frac{\pi }{4}\int\limits_{ - 4}^0 {\left( {16 - {x^2}} \right)dx} \).
b) Đúng. Thể tích phần trong của mảnh trên là:
\({V_1} = \frac{\pi }{4}\int\limits_{ - 4}^0 {\left( {16 - {x^2}} \right)dx} = \frac{{32\pi }}{3}\).
Mảnh dưới được tạo thành khi xoay một phần tư đường tròn có phương trình:
\({x^2} + {y^2} = 4 \Leftrightarrow {y^2} = 4 - {x^2}\).
Thể tích phần trong của mảnh dưới là:
\({V_2} = \pi \int\limits_0^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} = \frac{{16\pi }}{3}\).
Ta thấy \({V_1} = 2{V_2}\) nên thể tích phần trong của mảnh trên gấp 2 lần thể tích phần trong của mảnh dưới.
c) Đúng. Thể tích phần trong của quả trứng đồ chơi là:
\(V = {V_1} + {V_2} = \frac{{32\pi }}{3} + \frac{{16\pi }}{3} = 16\pi \).
d) Sai. Diện tích thiết diện bằng 2 lần phần giới hạn bởi một phần tư elip và một phần tư đường tròn với trục hoành. Ta chọn các đường nằm phía trên trục hoành.
Phương trình đường elip đó là: \(y = \sqrt {4 - \frac{{{x^2}}}{4}} \).
Phương trình đường tròn đó là \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \).
Diện tích thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng qua trục của quả trứng là:
\(S = 2\int\limits_{ - 4}^0 {\sqrt {4 - \frac{{{x^2}}}{4}} dx} + 2\int\limits_0^2 {\sqrt {4 - {x^2}} dx} = 6\pi \).
Danh sách bình luận