Một doanh nghiệp kinh doanh một loại sản phẩm T được sản xuất trong nước. Qua nghiên cứu thấy rằng nếu chỉ chi phí sản xuất mỗi sản phẩm T là x (đô) thì số sản phẩm T các nhà máy sản xuất sẽ là R(x) = x – 200 và số sản phẩm T mà doanh nghiệp bán được trên thị trường trong nước sẽ là Q(x) = 4200 – x. Số sản phẩm còn dư doanh nghiệp xuất khẩu ra thị trường quốc tế với giá bán mỗi sản phẩm ổn định trên thị trường quốc tế là \({x_0} = 3200\). Nhà nước đánh thuế trên mỗi sản phẩm xuất khẩu là a (đô) và luôn đảm bảo tỉ lệ giữa lãi xuất khẩu của doanh nghiệp và thuế thu được của nhà nước tương ứng là 4:1. Hãy xác định giá trị của a, biết lãi mà doanh nghiệp thu được do xuất khẩu là nhiều nhất.
Xác định hàm lãi suất của doanh nghiệp và hàm thuế thu được của nhà nước.
Đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số, từ đó suy ra a.
Số sản phẩm xuất khẩu là:
R(x) – Q(x) = x – 200 – (4200 – x) = 2x – 4400 (số sản phẩm sản xuất R(x) trừ đi số sản phẩm đã bán Q(x), phần còn lại xuất khẩu).
Lãi xuất khẩu của 1 sản phẩm là:
3200 – x – a (giá bán trừ đi chi phí sản xuất và thuế).
Lãi xuất khẩu của doanh nghiệp là:
L(x) = (2x – 4400)(3200 – x – a) (lãi của 1 sản phẩm nhân với tổng số sản phẩm).
Thuế thu được của nhà nước là T(x) = (2x – 4400)a (thuế của 1 sản phẩm nhân với tổng số sản phẩm).
Ta có L(x) : T(x) = 4 : 1.
Suy ra \((2x - 4400)(3200 - x - a) = 4(2x - 4400)a \Leftrightarrow a = \frac{{3200 - x}}{5}\).
Khi đó \(L(x) = (2x - 4400)\left( {3200 - x - \frac{{3200}-x}{5}} \right) = (2x - 4400)\frac{{12800 - 4x}}{5}\)
\( = \frac{1}{5}( - 8{x^2} + 43200x - 56320000)\).
Ta cần tìm x để L(x) lớn nhất.
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 200 > 0}\\\begin{array}{l}4200 - x > 0\\2x - 4400 > 0\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 2200 < x < 4200\).
\(L'(x) = \frac{1}{5}( - 16x + 43200) = 0 \Leftrightarrow x = 2700\) (TM).
Lập bảng biến thiên, thấy L(x) đạt giá trị lớn nhất khi x = 2700.
Vậy \(a = \frac{{3200 - 2700}}{5} = 100\).
Danh sách bình luận