Một nhà địa chất học đang ở tại điểm A trên sa mạc. Anh ta muốn đến điểm B cách A một đoạn là 70 km. Trong sa mạc thì xe anh ta chỉ có thể di chuyển với vận tốc là 30 km/h. Nhà địa chất phải đến được điểm B sau 2 giờ. Vì vậy, nếu anh ta đi từ A đến B sẽ không thể đến đúng giờ được. May mắn thay, có một con đường nhựa song song với đường nối A và B và cách AB một đoạn 10 km. Trên đường nhựa đó thì xe nhà địa chất này có thể di chuyển với vận tốc 50 km/h. Thời gian ngắn nhất để nhà địa chất di chuyển từ A đến B là bao nhiêu phút?
Lập hàm số biểu diễn thời gian đi từ A đến B.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số và kết luận.
Gọi HC = x (0 < x < 70) và DK = y (0 < y < 70).
Khi đó \(AC = \sqrt {{x^2} + 10} \), \(BD = \sqrt {{y^2} + 10} \), \(CD = 70 - (x + y)\) (km).
Thời gian để nhà địa chất học đi hết các đoạn đường AC, BD, CD là:
\({t_{AC}} = \frac{{AC}}{{30}} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 100} }}{{30}}\); \({t_{AC}} = \frac{{BD}}{{30}} = \frac{{\sqrt {{y^2} + 100} }}{{30}}\); \({t_{CD}} = \frac{{CD}}{{50}} = \frac{{70 - (x + y)}}{{50}}\) (giờ).
Tổng thời gian nhà địa chất học đi từ A đến B là:
\(T = {t_{AC}} + {t_{BD}} + {t_{CD}} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 100} }}{{30}} + \frac{{\sqrt {{y^2} + 100} }}{{30}} + \frac{{70 - (x + y)}}{{50}}\)
\( = \left( {\frac{{\sqrt {{x^2} + 100} }}{{30}} + \frac{{35 - x}}{{50}}} \right) + \left( {\frac{{\sqrt {{y^2} + 100} }}{{30}} + \frac{{70 - y}}{{50}}} \right)\).
Đặt \(f(x) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 100} }}{{30}} + \frac{{35 - x}}{{50}}\), suy ra \(f(y) = \frac{{\sqrt {{y^2} + 100} }}{{30}} + \frac{{35 - y}}{{50}}\).
Do đó \(T = f(x) + f(y)\).
Xét \(f(x) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 100} }}{{30}} + \frac{{35 - x}}{{50}}\), ta có:
\(f'(x) = \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 100} } \right)'.30 - \sqrt {{x^2} + 100} .30'}}{{{{30}^2}}} + \frac{{\left( {35 - x} \right)'.50 - \left( {35 - x} \right).50'}}{{{{50}^2}}}\)
\( = \frac{{\frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 100} }}.30}}{{{{30}^2}}} + \frac{{ - 50}}{{{{50}^2}}} = \frac{x}{{30\sqrt {{x^2} + 100} }} - \frac{1}{{50}}\).
Xét \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{30\sqrt {{x^2} + 100} }} - \frac{1}{{50}} = 0 \Leftrightarrow 30\sqrt {{x^2} + 100} = 50x\)
\( \Leftrightarrow 900\left( {{x^2} + 100} \right) = 2500{x^2} \Leftrightarrow 1600{x^2} - 90000 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{{15}}{2}\).
Vì x > 0 nên \(x = \frac{{15}}{2}\).
Ta có bảng biến thiên:
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) khi 0 < x < 70 là \(\frac{{29}}{{30}}\); giá trị nhỏ nhất của f(y) khi 0 < y < 70 là \(\frac{{29}}{{30}}\).
Suy ra giá trị nhỏ nhất của T là \(\frac{{29}}{{30}} + \frac{{29}}{{30}} = \frac{{29}}{{15}}\) (giờ).
Vậy thời gian ngắn nhất để nhà địa chất di chuyển từ A đến B là \(\frac{{29}}{{15}}\) giờ = 116 phút.
Danh sách bình luận