Đề bài

Trong không gian Oxyz, một cabin cáp treo ở Bà Nà Hill xuất phát từ điểm A(-2;1;5) và chuyển động đều theo đường cáp có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u  = (0; - 2;6)\) với tốc độ là 4 m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Giả sử sau 5 giây (s) kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm M. Gọi tọa độ M(a;b;c). Tính a + 3b + c.

Phương pháp giải

Lập phương trình đường cáp d và tọa độ điểm M theo tham số t.

Tính AM, từ đó tìm t.

Kết luận tọa độ M và tính a + 3b + c.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Phương trình đường cáp là phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(-2;1;5), nhận \(\overrightarrow u  = (0; - 2;6)\) làm vecto chỉ phương: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 1 - 2t\\z = 5 + 6t\end{array} \right.\) \(\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Vì M thuộc d nên ta có \(M( - 2;1 - 2t;5 + 6t)\).

Cabin đi đến điểm M với tốc độc 4 m/s trong 5 giây. Do đó AM = 4.5 = 20 (m).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = 20 \Leftrightarrow \sqrt {{0^2} + {{( - 2t)}^2} + {{(6t)}^2}}  = 20 \Leftrightarrow 40{t^2} = {20^2} \Leftrightarrow t =  \pm \sqrt {10} \).

Vì \(\overrightarrow {AM}  = (0; - 2t;6t)\) cùng hướng với \(\overrightarrow u  = (0; - 2;6)\) nên \( - 2t\) và \( - 2\) cùng dấu, suy ra \(t = \sqrt {10} \).

Khi đó \(M( - 2;1 - 2\sqrt 0 ;5 + 6\sqrt {10} )\).

Vậy \(a + 3b + c =  - 2 + 3\left( {1 - 2\sqrt {10} } \right) + 5 + 6\sqrt {10}  = 6\).