Đề bài

Một biển quảng cáo có dạng hình vuông ABCD cạnh AB = 4 m. Trên tấm biển đó có các đường tròn tâm A và đường tròn tâm B cùng bán kính R = 4 m, hai đường tròn cắt nhau như hình vẽ. Chi phí để sơn phần gạch chéo là 150 000 đồng/\({m^2}\), chi phí sơn phần màu đen là 100 000 đồng/\({m^2}\), chi phí để sơn phần còn lại là 250 000 đồng/\({m^2}\). Hỏi số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách trên là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp. Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình.

Đường tròn tâm A(-2;0), bán kính bằng 4 có phương trình:

\({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = 16 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {16 - {{\left( {x + 2} \right)}^2}} \).

Ta chỉ xét nửa đường tròn nằm phía trên trục hoành:

\(y = \sqrt {16 - {{\left( {x + 2} \right)}^2}} \).

Đường tròn tâm B(2;0), bán kính bằng 4 có phương trình:

\({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 16 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {16 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \).

Ta chỉ xét nửa đường tròn nằm phía trên trục hoành:

\(y = \sqrt {16 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \).

Diện tích phần gạch chéo là:

\({S_1} = \int\limits_{ - 2}^0 {\sqrt {16 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} dx}  + \int\limits_0^2 {\sqrt {16 - {{\left( {x + 2} \right)}^2}} dx}  = \frac{{16\pi }}{3} - 4\sqrt 3 \) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Diện tích phần sơn đen là:

\({S_2} = 2.\left( {\frac{{\pi {{.4}^2}}}{4} - {S_1}} \right) = \frac{{ - 8\pi }}{3} + 8\sqrt 3 \) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Diện tích phần còn lại của biển quảng cáo là:

\({S_3} = {4^2} - {S_1} - {S_2} = 16 - \frac{{8\pi }}{3} - 4\sqrt 3 \) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách trên là:

\(150000.{S_1} + 100000.{S_2} + 250000.{S_3} \approx 2195480\) đồng \( \approx 2,2\) triệu đồng.