Giả sử chiếc nón rộng vành sau có thể mô hình hóa bằng cách cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 1\\\sqrt {1 - {x^2}} \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}khi\\khi\end{array}\) \(\begin{array}{l}0 < x \le 1\\ - 1 \le x \le 0\end{array}\), trục Ox và các đường thẳng x = -1 và x = 1 quay quanh trục Ox (đơn vị trên trục là dm).
a) Diện tích hình phẳng (H) được tính theo công thức \(S\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {\sqrt {1 - {x^2}} + {x^3} + 1} \right|dx} \).
b) Diện tích thiết diện qua trục đối xứng của khối tròn xoay trên là \(\frac{{\pi + 5}}{2}\) \(d{m^2}\).
c) Công thức tính thể tích khối tròn xoay trên là \(V = \pi \int\limits_0^{ - 1} {\left( {{x^2} - 1} \right)dx} + \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^6} + 2{x^3} + 1} \right)dx} \).
d) Nếu thể tích của khối tròn xoay có dạng \(\frac{{a\pi }}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản thì a + b = 139.
a) Diện tích hình phẳng (H) được tính theo công thức \(S\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {\sqrt {1 - {x^2}} + {x^3} + 1} \right|dx} \).
b) Diện tích thiết diện qua trục đối xứng của khối tròn xoay trên là \(\frac{{\pi + 5}}{2}\) \(d{m^2}\).
c) Công thức tính thể tích khối tròn xoay trên là \(V = \pi \int\limits_0^{ - 1} {\left( {{x^2} - 1} \right)dx} + \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^6} + 2{x^3} + 1} \right)dx} \).
d) Nếu thể tích của khối tròn xoay có dạng \(\frac{{a\pi }}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản thì a + b = 139.
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay ứng dụng tích phân.
a) Sai. Diện tích hình phẳng (H) được tính theo công thức:
\(S = \int\limits_{ - 1}^0 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} + \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + 1} \right)dx} \).
b) Đúng. Diện tích thiết diện qua trục đối xứng của khối tròn xoay trên là:
\(2S = 2\int\limits_{ - 1}^0 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} + 2\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + 1} \right)dx} = \frac{{\pi + 5}}{2}\) \(\left( {d{m^2}} \right)\).
c) Đúng. Công thức tính thể tích khối tròn xoay trên là:
\(V = \pi \int\limits_{ - 1}^0 {{{\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}dx} + \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2}dx} \)
\( = \pi \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {1 - {x^2}} \right)dx} + \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^6} + 2{x^3} + 1} \right)dx} \)
\( = \pi \int\limits_0^{ - 1} {\left( {{x^2} - 1} \right)dx} + \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^6} + 2{x^3} + 1} \right)dx} \).
d) Đúng. \(V = \pi \int\limits_0^{ - 1} {\left( {{x^2} - 1} \right)dx} + \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^6} + 2{x^3} + 1} \right)dx} \)
\(= \frac{{2\pi }}{3} + \frac{{23\pi }}{{14}} = \frac{{97\pi }}{{42}}\).
Vậy a + b = 97 + 42 = 139.
Danh sách bình luận