Bạn Hải nhận thiết kế logo hình con mắt (phần được tô đậm) cho một cơ sở y tế: Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol y = f(x) và y = g(x) như hình bên (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét). Bạn Hải cần tính diện tích của logo để báo giá cho cơ sở y tế đó trước khi ký hợp đồng. Diện tích của logo là bao nhiêu decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Dựa vào các điểm thuộc đồ thị, viết phương trình \(f(x)\) và \(g(x)\).
Giải phương trình hoành độ giao điểm của \(f(x)\) và \(g(x)\) để tìm cận.
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).
Gọi parabol \(y = f(x)\) có phương trình \(y = {a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}\) \(\left( {{a_1} > 0} \right)\).
Parabol đi qua các điểm có tọa độ (-2; 0), (2; 0), (0; -1) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}0 = {a_1}{( - 2)^2} + {b_1}( - 2) + {c_1}\\0 = {a_1}{2^2} + {b_1}2 + {c_1}\\ - 1 = {a_1}{0^2} + {b_1}0 + {c_1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = \frac{1}{4}\\{b_1} = 0\\{c_1} = - 1\end{array} \right.\)
Vậy \(y = f(x) = \frac{1}{4}{x^2} - 1\).
Gọi parabol \(y = g(x)\) có phương trình \(y = {a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}\) \(\left( {{a_1} > 0} \right)\).
Parabol đi qua các điểm có tọa độ (0; 2), (2; 1), đỉnh (0; 2) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}2 = {a_2}{0^2} + {b_2}0 + {c_2}\\1 = {a_2}{2^2} + {b_2}2 + {c_2}\\ - \frac{{{b_2}}}{{2{a_2}}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_2} = - \frac{1}{4}\\{b_2} = 0\\{c_2} = 2\end{array} \right.\)
Vậy \(y = g(x) = - \frac{1}{4}{x^2} + 2\).
Phương trình hoành độ giao điểm của \(f(x)\) và \(g(x)\):
\(\frac{1}{4}{x^2} - 1 = - \frac{1}{4}{x^2} + 2 \)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 6 \).
Diện tích logo là:
\(\int\limits_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } {\left| {\left( { - \frac{1}{4}{x^2} + 2} \right) - \left( {\frac{1}{4}{x^2} - 1} \right)} \right|dx} \)
\(= \int\limits_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } {\left[ {\left( { - \frac{1}{4}{x^2} + 2} \right) - \left( {\frac{1}{4}{x^2} - 1} \right)} \right]dx} \)
\( = \int\limits_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } {\left( {3 - \frac{1}{2}{x^2}} \right)dx} \)
\(= \left( {3x - \frac{{{x^3}}}{6}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{\sqrt 6 }}\\{_{ - \sqrt 6 }}\end{array}} \right. \)
\(= 4\sqrt 6 \approx 9,8\) \(\left( {d{m^2}} \right)\).
Các lý thuyết chính được sử dụng:
1. Phương pháp tọa độ:
Sử dụng hệ trục tọa độ Oxy để biểu diễn hình dạng cần trang trí bằng các phương trình toán học. Mỗi điểm trên mặt phẳng được xác định bằng một cặp tọa độ (x; y). Các đường cong (parabol, đường tròn) được mô tả bằng phương trình đại số.
2. Phương trình hoành độ giao điểm:
Để tìm các điểm mà hai đường cong cắt nhau, chúng ta đặt phương trình của chúng bằng nhau và giải phương trình thu được để tìm tọa độ giao điểm.
3. Phương trình đường parabol:
Phương trình parabol có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).
Từ các điểm mà đồ thị qua, thay tọa độ vào phương trình trên để tìm được hệ số a, b, c.
4. Diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân:
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và g(x) liên tục trên [a; b], trục hoành, đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).
Danh sách bình luận