Đề bài

Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí. Trong mô hình hình họa bên, nó được giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị của hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{{10}}\left( { - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56} \right)\). Đơn vị độ dài trên mỗi trục là 100 m (Nguồn: A. Bigalke et al, Mathematik, Grundkurs ma-I, Cornelsen 2016). Trong công viên có một con đường chạy dọc theo đồ thị hàm số y= -1,5x + 18. Người ta dự định xây dựng trên bờ hồ một bến thuyền đáp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyền đến con đường này là ngắn nhất. Hoành độ của điểm để xây dựng bến thuyền này bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải

Tính khoảng cách MH theo x. Từ đó lập bảng biến thiên, tìm giá trị nhỏ nhất của MH và kết luận x.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Xét điểm M thuộc đồ thị hàm số f(x), do đó \(M\left( {x;\frac{1}{{10}}( - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56)} \right)\).

Phương trình con đường là \(y =  - 1,5x + 18 \Leftrightarrow  - 1,5x - y + 18 = 0\).

Khoảng cách từ M đến con đường là:

\(MH = \frac{{\left| { - 1,5x - \frac{1}{{10}}( - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56) + 18} \right|}}{{\sqrt {{{( - 1,5)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\left| {{x^3} - 9{x^2} + 124} \right|}}{{5\sqrt {13} }}\).

MH nhỏ nhất khi \(h(x) = {x^3} - 9{x^2} + 124\) nhỏ nhất trên [0;8].

\(h'(x) = 3{x^2} - 18x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 6\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy h(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 6.

Do đó, MH nhỏ nhất bằng \(\frac{{\left| {{6^3} - {{9.6}^2} + 124} \right|}}{{5\sqrt {13} }} = \frac{{16\sqrt {13} }}{{65}} \approx 0,8875\) khi x = 6.