Đề bài

Hình bên vẽ minh họa mái hiên ABCD song song với mái nhà PQRS trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (mái hiên và mái nhà đều phẳng) có Q(-10; 0; 200), P(-490; 0; 200), R(0; 1600; 0) và A(0; 0; -65). Mặt phẳng (ABCD) có phương trình y + az + 65a = 0. Tìm giá trị của a.

Phương pháp giải

Tìm vecto pháp tuyến của (PQRS) bằng cách tính tích có hướng \(\left[ {\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PR} } \right]\).

Lập phương trình mặt phẳng (PQRS), từ đó lập phương trình (ABCD) song song với (PQRS) và đi qua A.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Ta có \(\overrightarrow {PQ}  = ( - 10 + 490;0 - 0;200 - 200) = (480;0;0)\);

\(\overrightarrow {PR}  = (0 + 490;1600 - 0;0 - 200) = (490;1600; - 200)\).

\(\left[ {\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PR} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\{1600}&{ - 200}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{480}\\{ - 200}&{490}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{480}&0\\{490}&{1600}\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;96000;768000} \right)\).

Suy ra một vecto pháp tuyến của (PQRS) là \(\overrightarrow {{n_{PQRS}}}  = \frac{1}{{96000}}\left[ {\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PR} } \right] = \left( {0;1;8} \right)\).

Phương trình mặt phẳng (PQRS) là:

\(0\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 1600} \right) + 8\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow y + 8z - 1600 = 0\).

Vì (ABCD) // (PQRS) nên phương trình của (ABCD) có dạng \(y + 8z + d = 0\).

A(0;0;-65) thuộc (ABCD) nên \(0 + 8.( - 65) + d = 0 \Leftrightarrow d = 520\).

Vậy (ABCD): \(y + 8z + 520 = 0\). Suy ra a = 8.