Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;-1;2), mặt phẳng (P): x + y – 2z + 5 = 0 và đường thẳng d: \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\). Đường thẳng \(\Delta \) cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN. Phương trình đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(\frac{{x + 9}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{3} = \frac{{z - {z_0}}}{b}\) với \(ab \ne 0\). Tính \({a^2} + {b^2} + {y_0}^2 + {z_0}^2\).

Phương pháp giải

Tìm tọa độ của M, N theo tham số t. Tìm t, vecto chỉ phương và một điểm \(\Delta \) đi qua để lập phương trình \(\Delta \).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Phương trình của d viết dưới dạng chứa tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = t\\z = 2 + t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).

Vì M thuộc d nên \(M( - 1 + 2t;t;2 + t)\).

Mặt khác, A là trung điểm của MN nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2}\\{y_A} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2}\\{z_A} = \frac{{{z_M} + {z_N}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2{x_A} - {x_M} = 2.1 - ( - 1 + 2t) = 3 - 2t\\{y_N} = 2{y_A} - {y_M} = 2.( - 1) - t =  - 2 - t\\{z_N} = 2{z_A} - {z_M} = 2.2 - (2 + t) = 2 - t\end{array} \right. \Rightarrow N(3 - 2t; - 2 - t;2 - t)\).

Vì N thuộc mặt phẳng (P) nên thay tọa độ N vào phương trình của (P), ta được:

\((3 - 2t) + ( - 2 - t) - 2(2 - t) + 5 = 0 \Leftrightarrow t = 2\).

Do đó \(M(3;2;4)\), \(N( - 1; - 4;0)\), \(\overrightarrow {MN}  = ( - 1 - 3; - 4 - 2;0 - 4) = ( - 4; - 6; - 4)\).

Gọi điểm thuộc \(\Delta \) có hoành độ là 9 là \(B\left( {9;{y_0};{z_0}} \right)\).

\(\Delta \) nhận \(\overrightarrow u  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {MN}  = (2;3;2)\) làm vecto chỉ phương và đi qua điểm \(B\left( { - 9;{y_0};{z_0}} \right)\) có phương trình tham số:

\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 9 + 2m\\y = {y_0} + 3m\\z = {z_0} + 2m\end{array} \right.\) \((m \in \mathbb{R})\).

Vì \(M(3;2;4)\) thuộc \(\Delta \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}3 =  - 9 + 2m\\2 = {y_0} + 3m\\4 = {z_0} + 2m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 6\\{y_0} =  - 16\\{z_0} =  - 8\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 9; - 16; - 8} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) là \(\frac{{x + 9}}{2} = \frac{{y + 16}}{3} = \frac{{z + 8}}{2}\).

Ta có \({2^2} + {2^2} + {( - 16)^2} + {( - 8)^2} = 328\).