Đề bài

Một chiếc xe đua F1 đạt tới vận tốc lớn nhất là 360 km/h. Đồ thị bên biểu thị vận tốc v của xe trong 5 giây đầu tiên kể từ lúc xuất phát. Đồ thị trong 2 giây đầu là một phần của một parabol đỉnh tại gốc tọa độ O, giây tiếp theo là đoạn thẳng và sau đúng ba giây thì xe đạt vận tốc lớn nhất. Biết rằng mỗi đơn vị trục hoành biểu thị 1 giây, mỗi đơn vị trục tung biểu thị 10 m/s và trong 5 giây đầu xe chuyển động theo đường thẳng. Hỏi trong 5 giây đó xe đã đi được quãng đường là bao nhiêu mét?

Phương pháp giải

Lập phương trình 3 đồ thị biểu diễn vận tốc của xe rồi áp dụng tích phân tính quãng đường.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Đổi: 360 km/h = 100 m/s.

Gọi parabol biểu diễn vận tốc trong 2 giây đầu là \(y = a{t^2} + bt + c\) (a > 0).

Parabol đi qua điểm có tọa độ (0;0), (2;60) và đỉnh có tọa độ (0;0), do đó ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a{.0^2} + b.0 + c\\60 = a{.2^2} + b.2 + c\\ - \frac{b}{{2a}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = c\\60 = 4a + 2b + c\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = c\\a = 15\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow y = v(t) = 15{t^2}\).

Gọi đường thẳng biểu diễn tốc độ từ giây thứ 2 đến giây thứ 3 là y = mt + n (m > 0).

Đường thẳng đi qua các điểm có tọa độ (2;60) và (3;360) nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}60 = m.2 + n\\100 = m.3 + n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 40\\n =  - 20\end{array} \right. \Rightarrow y = v(t) = 40t - 20\).

Đường thẳng biểu diễn tốc độ từ giây thứ 3 đến giây thứ 5 là y = v(t) = 100.

Vậy trong 5 giây đầu, xe đi được quãng đường là:

\(S = \int\limits_0^2 {15{t^2}dt}  + \int\limits_2^3 {(40t - 20)dt}  + \int\limits_3^5 {100dt}  = 320\) (m).