Đề bài

Cho phương trình \({x^2} - 4x - 6 = 0\).

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(\frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_1}}} + \frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_2}}}\).

 

Phương pháp giải

a) Sử dụng \(ac < 0\) để chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Áp dụng định lí Viète và biến đổi P để xuất hiện tổng và tích của hai nghiệm.

Định lí Viète: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\).

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có: \(a = 1,{\rm{ }}b =  - 4,{\rm{ }}c =  - 6\)

Vì \(a.c = 1.\left( { - 6} \right) =  - 6 < 0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).

b) Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} =  - \frac{{ - 4}}{1} = 4}\\{{x_1}{x_2} = \frac{{ - 6}}{1} =  - 6}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(\frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_1}}} + \frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_2}}}\)

\(\begin{array}{l} = {x_1}{x_2}\left( {\frac{1}{{4 - {x_1}}} + \frac{1}{{4 - {x_2}}}} \right)\\ = {x_1}{x_2}\frac{{4 - {x_2} + 4 - {x_1}}}{{\left( {4 - {x_1}} \right)\left( {4 - {x_2}} \right)}}\\ = {x_1}{x_2}\frac{{8 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{16 - 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}}}\\ = \left( { - 6} \right).\frac{{8 - 4}}{{16 - 4.4 + \left( { - 6} \right)}}\\ = \frac{{\left( { - 6} \right).4}}{{ - 6}}\\ = 4\end{array}\)

Vậy \(\frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_1}}} + \frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_2}}} = 4\)