Đề bài

Tại một viện bảo tàng có một sa bàn hình vuông, mô tả một trận đánh mà quân ta cắm cờ chiến thắng ở một điểm cách ba đỉnh liên tiếp của hình vuông là 1m; 2m; 3m. Diện tích sa bàn là ... (kết quả tính theo \({m^2}\) và làm tròn hai chữ số thập phân).

Đáp án: 

Đáp án

Đáp án: 

Phương pháp giải

Đặt cạnh hình vuông là \(x\), \((x > 0)\)
Ký hiệu 4 đỉnh của sa bàn hình vuông là ABCD
Cờ được cắm ở vị trí \(E\) thỏa mãn \(EA = 1\), \(EB = 2\), \(EC = 3\)
Qua \(E\) kẻ \(FH \bot AB\), \(F \in AB\), \(H \in CD\)
\(\quad \quad GI \bot AD\), \(G \in AD\), \(I \in BC\)

Đặt: \(AF = z\), \(FE = y\), \((y > 0,z > 0)\)
Khi đó \(FB = BA - AF = x - z\); \(EH = FH - FE = x - y\)

Áp dụng định lí Pythagore ta có được 3 phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{y^2} + {z^2} = 1\;\left( 1 \right)\\{(x - z)^2} + {y^2} = 4\,\left( 2 \right)\\{(x - z)^2} + {(x - y)^2} = 9\,\left( 3 \right)\end{array}\end{array}\,} \right.\)

Đưa phương trình (2), (3) về dạng đơn giản để biểu diễn x, y, z.

Trừ từng vế của phương trình (3) cho phương trình (2) để biểu diễn x theo y, z.

Sau đó thế vào phương trình (2) ta tìm được y theo z.

Xét các trường hợp để tìm x, y, z.

Đặt cạnh hình vuông là \(x\), \((x > 0)\)
Ký hiệu 4 đỉnh của sa bàn hình vuông là ABCD
Cờ được cắm ở vị trí \(E\) thỏa mãn \(EA = 1\), \(EB = 2\), \(EC = 3\)
Qua \(E\) kẻ \(FH \bot AB\), \(F \in AB\), \(H \in CD\)
\(\quad \quad GI \bot AD\), \(G \in AD\), \(I \in BC\)

Đặt: \(AF = z\), \(FE = y\), \((y > 0,z > 0)\)
Khi đó \(FB = BA - AF = x - z\); \(EH = FH - FE = x - y\)

Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}EA = 1\\EB = 2\;\\EC = 3\end{array}\end{array}} \right.\) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}E{A^2} = 1\;\\E{B^2} = 4\;\\E{C^2} = 9\end{array}\end{array}} \right.\)
Áp dụng định lí Pythagore, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{y^2} + {z^2} = 1\;\left( 1 \right)\\{(x - z)^2} + {y^2} = 4\,\left( 2 \right)\\{(x - z)^2} + {(x - y)^2} = 9\,\left( 3 \right)\end{array}\end{array}\,} \right.\)
Xét phương trình (2) ta được:

\(\begin{array}{l}{(x - z)^2} + {y^2} = 4\\{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2zx = 4\\{z^2} + 1 - 2zx = 4\\{x^2} - 2zx = 3\end{array}\)

Xét phương trình (3) ta được:

\(\begin{array}{l}{(x - z)^2} + {(x - y)^2} = 9\\2{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2zx - 2xy = 9\\2{x^2} + 1 - 2zx - 2xy = 9\\2{x^2} - 2zx - 2xy = 8\\{x^2} - zx - xy = 4\end{array}\)

Trừ từng vế của phương trình (3) cho phương trình (2), ta được:

\(\begin{array}{l}{x^2} - zx - xy - ({x^2} - 2zx) = 4 - 3\\zx - xy = 1\\x\left( {z - y} \right) = 1\end{array}\)

suy ra \(x = \frac{1}{{z - y}}\)
Thế \(x = \frac{1}{{z - y}}\) vào phương trình (2), ta được:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 2xz = 3\\{\left( {\frac{1}{{z - y}}} \right)^2} - 2.\frac{1}{{z - y}}.z = 3\\1 - 2\left( {z - y} \right).z = 3{\left( {z - y} \right)^2}\\1 - 2\left( {{z^2} - yz} \right) = 3\left( {{z^2} + {y^2} - 2zy} \right)\end{array}\)

\(1 - 2{z^2} + 2yz = 3\left( {1 - 2zy} \right)\) (vì \({z^2} + {y^2} = 1\))

\(\begin{array}{l}1 - 2{z^2} + 2yz = 3 - 6zy\\ - 2{z^2} = 2 - 8yz\end{array}\)

\( - 2{z^2} = 2\left( {{y^2} + {z^2}} \right) - 8yz\) (vì \({z^2} + {y^2} = 1\))

\(\begin{array}{l} - 2{z^2} = 2{y^2} + 2{z^2} - 8yz\\ - {z^2} = {y^2} + {z^2} - 4yz\\{y^2} + 2{z^2} - 4yz = 0\\{y^2} + 4{z^2} - 4yz = 2{z^2}\\{\left( {y - 2z} \right)^2} = 2{z^2}\\y - 2z =  \pm \sqrt 2 z\end{array}\)

suy ra \(y = \sqrt 2 z + 2z\) hoặc \(y =  - \sqrt 2 z + 2z\)

\(y = \left( {2 + \sqrt 2 } \right)z\) hoặc \(y = \left( {2 - \sqrt 2 } \right)z\)

+) Trường hợp 1: \(y = (2 + \sqrt 2 )z\)
\(\begin{array}{l}{y^2} + {z^2} = 1\\{\left[ {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)z} \right]^2} + {z^2} = 1\\\left( {6 + 4\sqrt 2 } \right){z^2} + {z^2} = 1\\\left( {7 + 4\sqrt 2 } \right){z^2} = 1\\{z^2} = \frac{1}{{7 + 4\sqrt 2 }}\\z = \frac{1}{{\sqrt {7 + 4\sqrt 2 } }}\end{array}\)

suy ra \(y = \left( {2 + \sqrt 2 } \right)z = \left( {2 + \sqrt 2 } \right)\frac{1}{{\sqrt {7 + 4\sqrt 2 } }} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {7 + 4\sqrt 2 } }}\)

Do đó \(x = \frac{1}{{z - y}} = \frac{1}{{\frac{1}{{\sqrt {7 + 4\sqrt 2 } }} - \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {7 + 4\sqrt 2 } }}}} = \frac{1}{{\frac{{ - 1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt {7 + 4\sqrt 2 } }}}} = \frac{{\sqrt {7 + 4\sqrt 2 } }}{{ - 1 - \sqrt 2 }} \approx  - 1,4736\)  loại vì \(x > 0\)

+) Trường hợp 2: \(y = (2 - \sqrt 2 )z\)
\(\begin{array}{l}{y^2} + {z^2} = 1\\{\left[ {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)z} \right]^2} + {z^2} = 1\\\left( {6 - 4\sqrt 2 } \right){z^2} + {z^2} = 1\\\left( {7 - 4\sqrt 2 } \right){z^2} = 1\\{z^2} = \frac{1}{{7 - 4\sqrt 2 }}\\z = \frac{1}{{\sqrt {7 - 4\sqrt 2 } }}\end{array}\)

suy ra \(y = \left( {2 + \sqrt 2 } \right)z = \left( {2 + \sqrt 2 } \right)\frac{1}{{\sqrt {7 - 4\sqrt 2 } }} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {7 - 4\sqrt 2 } }}\)

Do đó \(x = \frac{1}{{z - y}} = \frac{1}{{\frac{1}{{\sqrt {7 - 4\sqrt 2 } }} - \frac{{2 - \sqrt 2 }}{{\sqrt {7 - 4\sqrt 2 } }}}} = \frac{1}{{\frac{{\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt {7 - 4\sqrt 2 } }}}} = \frac{{\sqrt {7 - 4\sqrt 2 } }}{{\sqrt 2  - 1}}\)  (thoả mãn)

Diện tích sa bàn là:
\({\left( {\frac{{\sqrt {7 - 4\sqrt 2 } }}{{\sqrt 2  - 1}}} \right)^2} \approx 7.83\left( {{m^2}} \right)\)

Đáp án: 7,83