Đề bài

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình là \({d_1}\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + at\\y = t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}\): \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}\). Tìm a để nút giao thông trên là nút giao thông cùng mức.

Phương pháp giải

Tìm a để \({d_1}\), \({d_2}\) cắt nhau.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vecto chỉ phương của \({d_1}\), \({d_2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}}  = (a;1;1)\), \(\overrightarrow {{u_2}}  = (1; - 2;1)\).

Vì \(\frac{{ - 2}}{1} \ne \frac{1}{1}\) nên hai vecto \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương.

Nút giao thông là cùng mức khi \({d_1}\), \({d_2}\) cắt nhau. Khi đó hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}1 + at = 1 - t'\\t = 2 + 2t'\\ - 1 + 2t = 3 - t'\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}(1)\\(2)\\(3)\end{array}\) có nghiệm duy nhất.

Từ (2) và (3) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t' = 0\end{array} \right.\)

Hệ có nghiệm duy nhất khi \(\left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t' = 0\end{array} \right.\) cũng là nghiệm của (1).

Thay t = 2, t = 0 vào (1), ta được \(1 + a.2 = 1 - 0 \Leftrightarrow a = 0\).

Vậy để nút giao thông trên là nút giao thông cùng mức thì a = 0.