Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như hình vẽ. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ tọa độ phù hợp, các điểm O (gốc cây thông), A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là O(0;0;0), A(3;-2;1), B(-5;-3;1) (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Biết rằng hai sợi dây neo đều được buộc vào thân cây tại điểm C(0;0;5) và dây kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. Tổng các góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi bằng bao nhiêu độ (làm tròn số đo các góc đến hàng đơn vị của độ).
Sử dụng công thức tính tích có hướng để tìm vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \) của mặt phẳng (OAB).
Tính các vecto \(\overrightarrow {CA} \), \(\overrightarrow {BC} \).
Áp dụng công thức \(\sin \left( {CA,(OAB)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\), \(\sin \left( {BC,(OAB)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\), từ đó tính được các góc.
Ta có \(\overrightarrow {OA} = (3; - 2;1)\), \(\overrightarrow {OB} = ( - 5; - 3;1)\).
\(\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1\\{ - 3}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\1&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 2}\\{ - 5}&{ - 3}\end{array}} \right|} \right) = \left( {1; - 8; - 19} \right)\).
Do đó \(\overrightarrow n = \left( {1; - 8; - 19} \right)\) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (OAB).
Ta có \(\overrightarrow {CA} = (3; - 2; - 4)\), \(\overrightarrow {BC} = (5;3;4)\) nên:
\(\sin \left( {CA,(OAB)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {3.1 + ( - 2).( - 8) + ( - 4).( - 19)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 4)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{( - 8)}^2} + {{( - 19)}^2}} }} = \frac{{95}}{{\sqrt {12354} }}\).
Suy ra \(\left( {CA,(OAB)} \right) \approx {59^o}\).
\(\sin \left( {BC,(OAB)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {5.1 + 3.( - 8) + 4.( - 19)} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {3^2} + {4^2}} .\sqrt {{1^2} + {{( - 8)}^2} + {{( - 19)}^2}} }} = \frac{{95}}{{10\sqrt {213} }}\).
Suy ra \(\left( {BC,(OAB)} \right) \approx {41^o}\).
Vậy tổng các góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi bằng \({59^o} + {41^o} = {100^o}\).
Danh sách bình luận