Đề bài

Nhà thầy Hùng cách bờ biển 1 km. Mỗi buổi sáng thầy chạy bộ từ nhà ra bờ biển sau đó chạy dọc bờ biển 500 m, rồi thầy chạy qua chợ hải sản để lấy thức ăn trong ngày, cuối cùng thầy chạy về nhà. Biết chợ hải sản cách bờ biển 400 m và cách nhà thầy Hùng 1 km, tính quãng đường ngắn nhất mà thầy Hùng đã chạy trong mỗi buổi sáng (đơn vị m và làm tròn đến hàng đơn vị).

Phương pháp giải

Lập hàm số biểu diễn quãng đường thầy hùng chạy mỗi sáng.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Minkowski:

\(\sqrt {{a^2} + {x^2}}  + \sqrt {{b^2} + {y^2}}  \ge \sqrt {{{(a + b)}^2} + {{(x + y)}^2}} \).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Đặt các điểm như hình vẽ.

Khi đó AH = 10, MN = 5, BK = 4, AB = 10 (đơn vị: trăm mét).

Lấy điểm P thuộc AH sao cho BP song song với bờ biển.

Khi đó PH = BK = 4, AP = AH – PH = 10 – 4 = 6.

Ta có \(BP = \sqrt {A{B^2} - A{P^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}}  = 8\).

Suy ra HK = BP = 8.

Đặt HM = x \((0 \le x \le 3)\).

Khi đó NK = HK – HM – MN = 8 – x – 5 = 3 – x.

Ta có \(AM = \sqrt {A{H^2} + H{M^2}}  = \sqrt {{{10}^2} + {x^2}}  = \sqrt {{x^2} + 100} \);

\(BN = \sqrt {B{K^2} + N{K^2}}  = \sqrt {{4^2} + {{(3 - x)}^2}}  = \sqrt {16 + {{(3 - x)}^2}} \).

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN = \sqrt {{x^2} + 100}  + \sqrt {{{(3 - x)}^2} + 16} \).

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, ta có:

\(\sqrt {{x^2} + 100}  + \sqrt {{{(3 - x)}^2} + 16}  \ge \sqrt {{{(x + 3 - x)}^2} + {{(10 + 4)}^2}}  = \sqrt {205} \).

Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{{3 - x}}{x} = \frac{4}{{10}} \Leftrightarrow x = \frac{{15}}{7}\).

Vậy quãng đường ngắn nhất mà thầy Hùng đã chạy mỗi sáng là:

\(500 + \sqrt {205} .100 + 1000 \approx 2932\) (m).