Đề bài

Cho quãng đường từ địa điểm A tới địa điểm B dài 90 km. Lúc 6 giờ, một xe máy đi từ A tới B. 6 giờ 30 phút cùng ngày, một ô tô cũng đi từ A tới B với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h. Hai xe cùng chạy trên một con đường và đến B cùng lúc. Tính vận tốc mỗi xe.

Phương pháp giải

Gọi x là vận tốc của xe máy (x > 0, đơn vị: km/h).

Biểu diễn vận tốc, thời gian di chuyển của xe máy và xe ô tô theo x.

Thời gian di chuyển từ A đến B của xe ô tô ít hơn xe máy 30 phút nên ta lập được phương trình.

Giải phương trình để tìm x, kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xe máy đi trước ô tô 30 phút = \(\frac{1}{2}\) giờ.

Gọi vận tốc của xe máy là x (x > 0, đơn vị: km/h).

Vì vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h nên vận tốc của ô tô là x + 15 (km/h).

Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là: \(\frac{{90}}{x}\) (h).

Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là: \(\frac{{90}}{{x + 15}}\) (h).

Do xe máy đi trước ô tô \(\frac{1}{2}\) giờ và hai xe đều tới B cùng một lúc nên ta có phương trình:

\(\frac{{90}}{x} - \frac{{90}}{{x + 15}} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{{90.2(x + 15)}}{{2x(x + 15)}} - \frac{{90.2x}}{{2x(x + 15)}} = \frac{{x(x + 15)}}{{2x(x + 15)}}\)

\(90.2(x + 15) - 90.2x = x(x + 15)\)

\(180x + 2700 - 180x - {x^2} - 15x = 0\)

\( - {x^2} - 15x + 2700 = 0\)

Giải phương trình trên, ta được x = -60 (không thỏa mãn) và x = 45 (thỏa mãn).

Vậy, vận tốc của xe máy là 45 km/h, vận tốc của ô tô là 60 km/h.

Mở rộng

+ Lý thuyết cơ bản được áp dụng ở đây là công thức tính quãng đường trong chuyển động đều: Quãng đường = Vận tốc × Thời gian.

+ Từ công thức này, chúng ta có thể suy ra công thức tính thời gian: Thời gian = Quãng đường / Vận tốc.

+ Bài toán cũng yêu cầu giải một phương trình đại số, cụ thể là một phương trình bậc hai, để tìm ra giá trị của biến (vận tốc) sau khi thiết lập mối quan hệ về thời gian giữa hai đối tượng chuyển động.

Đối với các bài toán chuyển động có yếu tố quãng đường, vận tốc, thời gian và mối liên hệ về thời điểm xuất phát hoặc thời điểm đến đích, phương pháp giải chung thường bao gồm các bước sau:

1. Xác định các đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm: Ghi rõ quãng đường, các thông tin về vận tốc (nếu có), và mối liên hệ về thời gian giữa các đối tượng chuyển động.
2. Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn: Thường chọn vận tốc của một trong các đối tượng làm ẩn số (\(x\)). Đặt điều kiện phù hợp cho ẩn (ví dụ: vận tốc phải dương).
3. Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn: Sử dụng mối quan hệ giữa các vận tốc để biểu diễn vận tốc của các đối tượng khác theo ẩn (x).
4. Tính thời gian di chuyển của mỗi đối tượng theo ẩn: Sử dụng công thức Thời gian = Quãng đường / Vận tốc để biểu diễn thời gian di chuyển của từng đối tượng qua quãng đường đã cho theo ẩn (x).
5. Lập phương trình biểu thị mối quan hệ về thời gian: Dựa vào thông tin về thời điểm xuất phát, thời điểm đến đích hoặc mối liên hệ khác về thời gian di chuyển giữa các đối tượng, thiết lập một phương trình đại số liên quan đến các biểu thức thời gian đã tính ở bước 4.
6. Giải phương trình: Sử dụng các phương pháp đại số để giải phương trình vừa lập để tìm giá trị của ẩn (x).
7. Kiểm tra điều kiện của ẩn và kết luận: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn đã đặt ra ở bước 2. Chỉ chấp nhận các nghiệm thỏa mãn điều kiện. Từ giá trị của ẩn, tính toán các đại lượng cần tìm khác theo yêu cầu của bài toán và đưa ra kết luận cuối cùng.

Trong trường hợp bài toán này, phương trình dẫn đến là bậc hai, nhưng các bài toán chuyển động khác có thể dẫn đến các dạng phương trình khác (ví dụ: phương trình bậc nhất, phương trình chứa ẩn ở mẫu...). Tuy nhiên, các bước cơ bản trong phương pháp giải vẫn tương tự nhau.