Đề bài

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có hai đường kính \(AB\) và \(CD\) vuông góc tại \(O\). Gọi  I  là trung điểm của \(OB\). Tia \(CI\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(E\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AE\) và \(CD\).

a) Chứng minh bốn điểm O, I, E, D cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh \(AH.\,AE = 2{R^2}\) và \(OA = 3 \cdot OH\).

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta IOD\) và \(\Delta IED\) nội tiếp đường tròn đường kính ID, do đó bốn điểm O, I, E, D thuộc đường tròn đường kính AB.

b) Chứng minh \(AH.\,AE = 2{R^2}\)

Chứng minh \(\Delta AHO\backsim \Delta ABE\) (g.g) suy ra \(\frac{{AH}}{{AO}} = \frac{{AB}}{{AE}}\), do đó \(AH \cdot AE = AO \cdot AB\).

Thay bằng R để tính \(AH.AE\).

Chứng minh \(OA = 3 \cdot OH\)

Tính OI, AI theo R.

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác ABE để tính \(\frac{{AE}}{{BE}}\)

Vì \(\Delta AHO\backsim \Delta ABE\) nên \(\frac{{OA}}{{OH}} = \frac{{AE}}{{BE}}\) suy ra \(\frac{{OA}}{{OH}}\), suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét \(\Delta IOD\) vuông tại O (\(CD \bot AB\) tại O) nên \(\Delta IOD\) nội tiếp đường tròn đường kính ID, do đó I, O, D thuộc đường tròn đường kính ID.

Xét \(\Delta IED\) vuông tại E (\(\widehat {CED} = 90^\circ \), góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(\Delta IED\) nội tiếp đường tròn đường kính ID, do đó I, E, D thuộc đường tròn đường kính ID.

Do đó bốn điểm O, I, E, D thuộc đường tròn đường kính AB.

b) Chứng minh \(AH.\,AE = 2{R^2}\)

Ta có \(\widehat {AEB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \(\Delta AHO\) và \(\Delta ABE\) có:

\(\widehat A\) chung

\(\widehat {AOH} = \widehat {AEB}\left( { = 90^\circ } \right)\)

nên \(\Delta AHO\backsim \Delta ABE\) (g.g) suy ra \(\frac{{AH}}{{AO}} = \frac{{AB}}{{AE}}\), do đó \(AH \cdot AE = AO \cdot AB = R \cdot 2R = 2{R^2}\)

Chứng minh \(OA = 3 \cdot OH\)

Vì I là trung điểm của OB nên $OI=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}R$, suy ra $AI=R+\frac{1}{2}R=\frac{3}{2}R$

Vì $\widehat{AOC}=\widehat{COB}=90{}^\circ $ nên $\overset\frown{AC}=\overset\frown{CB}$, suy ra $\widehat{AEC}=\widehat{CEB}$ (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Do đó $EI$ là tia phân giác của góc $AEB$.

Vì $EI$ là tia phân giác của góc $AEB$ nên suy ra: $\frac{AE}{BE}=\frac{AI}{IB}=\frac{\frac{3}{2}R}{\frac{1}{2}R}=3$.

Vì $\Delta AHO\backsim \Delta ABE$ nên $\frac{OA}{OH}=\frac{AE}{BE}$ suy ra $\frac{OA}{OH}=3$, do đó $OA=3.OH$.